07章 统计热力学基础
i
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无论哪种分配都必须满足如下两 个条件:
N N N U
i i i i i
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2.2 定位系统的最概然分布
每种分配的 i 值各不相同,但其中有一项最 大值 max ,在粒子数足够多的宏观系统中,可 以近似用 max 来代表所有的微观数,这就是最 概然分布。
g
N1 1
g
N2 2
N! N1 ! N 2 ! Ni !
Ni i
g N ! i Ni !
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由于分配方式很多,所以在U、V、N一定的 条件下,所有的总微态数为:
g (U ,V , N ) N ! i i Ni !
求和的限制条件仍为:
Ni i
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例如,气体分子平动能的公式为:
h 2 2 2 i (nx ny nz ) 3/ 2 8mV
式中 nx , ny和nz 分别是在 x, y和z 轴方向的平动
2
h 量子数,当 i 则 nx 1, ny 1, nz 1, 3 3/ 2 8mV
U ni i U (位能)
i
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1.5 统计系统的分类
目前,统计系统主要有三种: 一种是Maxwell-Boltzmann统计,通常称 为Boltzmann统计。 1900年Plonck提出了量子论,引入了能量 量子化的概念,发展成为初期的量子统计。 在这时期中,Boltzmann有很多贡献,开始 是用经典的统计方法,而后来又有发展,加以 改进,形成了目前的Boltzmann统计。
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1.6 统计热力学的基本假定
概率(probability) 指某一件事或某一种状态出现的机会大小。 热力学概率 系统在一定的宏观状态下,可能出现的微 观总数,通常用 表示。
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等概率假定
对于U, V 和 N 确定的某一宏观系统,任何
一个可能出现的微观状态,都有相同的数学概率,
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这公式使用方便,例如讨论压力在重力 场中的分布,设各个高度温度相同,即得:
p p0e
mgh / kT
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2.8 熵和亥氏自由能的表达式
根据揭示熵本质的Boltzmann公式
S k ln k ln max
(1)对于定位系统,非简并状态
max
N! * N i!
的分布公式是相同的。
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2.7 Boltzmann公式的其它形式
(1)将i能级和j能级上粒子数进行比较,用最 概然分布公式相比,消去相同项,得:
N gi e j / kT N g je
* i * j
i / kT
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(2)在经典力学中不考虑简并度,则上式成为
独立粒子系统和相依粒子系统
统计系统的分类 统计热力学的基本假定
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1.1 统计热力学的研究方法 根据统计单位的力学性质(例如速度、
动量、位置、振动、转动等),经过统计平
均推求系统的热力学性质,将系统的微观性
质与宏观性质联系起来,这就是统计热力学
的研究方法。
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i
i / kT
令分母的求和项为:
g e
i i
i / kT
q
q称为分子配分函数,或配分函数(partition function),其单位为1。
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g e
i i
i / kT
q
求和项中
q是对系统中一个粒子的所有可能状态的Boltzmann 因子求和,因此q又称为状态和。
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1.2 统计热力学的基本任务
根据对物质结构的某些基本假定,以及实
验所得的光谱数据,求得物质结构的一些基本
常数,如核间距、键角、振动频率等,从而计
算分子配分函数。再根据配分函数求出物质的
热力学性质,这就是统计热力学的基本任务。
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该方法的优点: 将系统的微观性质与宏观性质 联系起来,对于简单分子计算结果常是令人满 意的。不需要进行复杂的低温量热实验,就能 求得相当准确的熵值。 该方法的局限性:计算时必须假定结构的模型, 而人们对物质结构的认识也在不断深化,这势 必引入一定的近似性。另外,对大的复杂分子 以及凝聚系统,计算尚有困难。
熵和亥氏自由能的表示式
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2.1 定位系统的微态数
一个由 N 个可区分的独立粒子组成的宏观
系统,在量子化的能级上可以有多种不同的分配 方式。设其中的一种分配方式为:
能级:
1, 2 , , i
一种分配方式: N1,N2, ,Ni
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e
i / kT 称为Boltzmann因子。配分函数
i / kT N
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3. 配分函数
配分函数的定义 配分函数的分离
非定位系统配分函数与热力学函数的关系 定位系统配分函数与热力学函数的关系
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3.1 配分函数的定义
根据Boltzmann最概然分布公式(略去标号 "* " )
gi e Ni N i / kT gi e
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2.6 非定位系统的最概然分布
同样采用最概然分布的概念,用Stiring公式 和Lagrange乘因子法求条件极值,得到微态数为 极大值时的分布方式 Ni* (非定位)为:
i / kT g e * i N(非定位) N i i / kT g e i i
由此可见,定位系统与非定位系统,最概然
i
ln max ln N ! ln Ni !
i
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用Stiring公式展开:
ln max N ln e
i
i / kT
U kT
i / kT
S (定位) k ln max kN ln e
U T
i / kT
A (定位) U TS NkT ln e
i
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(2)对于定位系统,简并度为 gi
max
g N ! i Ni !
Ni i
推导方法与前类似,得到的结果中,只比(1) gi 的结果多了 项。
S (定位) kN ln gi e
i
i / kT
A (定位) NkT ln gi ei / kT
i
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U T
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(3)对于非定位系统
由于粒子不能区分,需要进行等同性的修 正,在相应的定位系统的公式上除以 N !,即:
( gi e ) U i S (非定位) k ln[ ] N! T i / kT N ( gi e ) A (非定位) kT ln[ i ] N!
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作业:Page 444
复习题
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1 概论
2 Boltzmann 统计
3 配分函数
4 各配分函数的计算
5 配分函数对热力学函数的贡献
6 单原子理想气体热力学函数的计算
7 双原子理想气体热力学函数的计算
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1 概论
统计热力学的研究方法 统计热力学的基本任务 定位系统和非定位系统
只有一种可能的状态,则 gi 1 ,是非简的。
2
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2 h 当 i 6 8mV 3/2
nx
1 1 2
ny
1 2 1
nz
2 1 1
这时,在 i 相同的情况下,有三种不同的微观 状态,则 gi 3 。
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2.4 有简并度时定位系统的微态数
设有 N 个粒子的某定位系统的一种分布为:
i j N e j / kT exp( ) kT N e
* i * j i / kT
0能级上 设最低能级为 0 , i 0 ,在 i
的粒子数为 N 0 ,略去 "* " 标号,则上式可写作:
Ni N0e
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i / kT
能级 各能级简并度 一种分配方式
1 , 2 , , i
g1 , g 2 , , gi N1 , N 2 , , N i
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1 ( g C )( g C
N1 1 N1 N N2 2
N1 1
N2 N N1
)
( N N1 )! N! N2 g g2 N !( N N1 )! N 2 !( N N1 N 2 )!
独立粒子系统。这种系统的总能量应等于各个
粒子能量之和,即:
U n11 n2 2 ni i
i
独立粒子系统是本章主要的研究对象。
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相依粒子系统(assembly of interacting particles) 相依粒子系统又称为非独立粒子系统,系 统中粒子之间的相互作用不能忽略,系统的总 能量除了包括各个粒子的能量之和外,还包括 粒子之间的相互作用的位能,即:
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1924年以后有了量子力学,使统计力学中力学 的基础发生改变,随之统计的方法也有改进,从而 形成了Bose-Einstein统计和Fermi-Dirac统计,分别 适用于不同系统。 但这两种统计在一定条件下通过适当的近似, 可与Boltz 27