第七章 玻耳兹曼统计习题7.1根据公式∑∂∂-=ll lVa P ε证明，对于非相对论粒子：)()2(21222222z y x n n n Lmmps ++==π，z y x n n n ,,=0，±1，±2，…有VU p 32=,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。

证：∑∂∂-=ll lVa Pε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂-∑)()2(212222z y x lln n n L m Va π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂-∑)()2(222223z y x lln n n L m L Va π 其中 Va u ll ε∑=;V ~3L⇒=p ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++∂∂-∑)()2(21222232zyxlln n n V mVaπ(对同一l ,222z y x n n n ++)=m a ll21∑-2)2( π)(222z y x n n n ++)32(35--V=ma ll21∑-22222)()2(Ln n n z y x ++ π)32(3532--V V =VU 32习题7.2试根据公式∑∂∂-=ll lVa P ε证明，对于极端相对论粒子：21222)(2z y x n n n Lccp ++== πε，z y x n n n ,,=0，±1，±2，…有VU p 31=,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。

证： ∑∂∂-=ll lVa P ε；对极端相对论粒子 21222)(2z y x n n n Lc cp ++== πε 类似得 31212)()2(-∑∂∂-=∑Vn Va P i llπ=VU VV a ll l 31)31(3431-=---∑ε习题7.3当选择不同的能量零点时，粒子第l 个能级的能量可以取为l l *εε或，以∆表示二者之差=∆l l εε-*。

试证明相应的配分函数存在以下关系11Z e Z ∆-*=β，并讨论由配分函数Z 1和Z *1求得的热力学函数有何差别。

证： 配分函数 ∑-=le Z lβεω1()111*Z eeeZ l l l∆-∆+--*===∑∑βεββεωω以内能U 为例，对Z 1: 1ln Z NU β∂∂-=对Z 1*: ()UN eNZNU Z +∆=∂∂-=∂∂-=-1ln ln 1**βββ习题7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为∑-=sPs Ps NkS ln式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1Z eNeP sss βεβεα---==,∑s对粒子的所有量子态求和。

证法一：出现某状态s ψ几率为P s设S 1,S 2,……S k 状态对应的能级s 'ε；设S k+1 ,S k+2,……S w 状态对应的能级s 'ε；类似………………………………；则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计NeP sS βεα--=；显然NP s 代表粒子处于某量子态S 下的几率，Se NP S βεα--=。

于是Seβεα--∑代表处于S状态下的粒子数。

例如，对于s 'ε能级⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=--'K S S S S e1βεα个粒子在s 'ε上的K 个微观状态的概率为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛''∑=='='--kS S S s eS S PP S P 1βεα粒子数类似写出：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛''∑=''=''--kS S S s eS PS P 1βεα………………………………………………等等。

于是N 个粒子出现某一微观状态的概率。

()==∏'=SS S S P P ⋅∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛'='--kS S S s eS P1βεα⎪⎪⎭⎫⎝⎛''∑=''--kS S S s eS P1βεα一微观状态数P1=Ω ，（基于等概率原理） Ω=ln k S⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯∑⋅∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=''--='--W S K S S S k S S S S e S e S P P k S 111lnβεαβεα k -=()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯++∑∑''--'--+'''K WK S S S S S S S S PeP e 11ln ln βεαβεα将Se NP S βεα--=带入S SS P P kN S ln ∑-=⇒；习题7.5固体含有A 、B 两种原子。

试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混 合熵为k S =㏑[][][])1ln()1(ln !)1(!!x x x x N x N N N x --+-=-κ其中N 是总原子数，x是A原子的百分比，（1-x ）是B 原子的百分比。

注意x<1，上式给出的熵为正值。

证： 显然 []!)1()!(!!!!21x N Nx N n n N -==ΩS=k ㏑Ω=-N k [])1ln()1(ln x x x x --+=)1()1(ln x x x x Nk ---；由于 )1()1(x x x x --＜1， 故0〉S ；原题得证。

习题7.6晶体含有N 个原子。

原子在晶体中的正常位置如图中O 所示。

当原子离开正常位置而占据图中×位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体这种缺陷 叫做弗伦克缺陷。

(1)假设正常位置和填隙位置数都是N ，试证明由于在晶体中形成n 个缺位和 填隙原子而具有的熵等于)!(!!ln2n N n N k S -=；(2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u 。

试由自由能F=nu-Ts 为极小 值证明，温度为T 时，缺位和填隙原子数为n ≈kTu Ne 2-(设n 〈〈N )证： (1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=Ω=)!(!!)!(!!ln ln n N n N n N n N k k S =)!(!!ln2n N n N k -(2)略，参见 ex7.7习题7.7如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。

以N 表示晶体中的原子数，n 表示晶体中的缺位数。

如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极 小的条件证明，温度为T 时n ≈kTW Ne-(设n 〈〈N )其中W 为原子在表面位置与正常位置的能量差。

证： TS U F -=,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成n 个空位需要能量nW U =；Ω=ln k s ,而在N 个格点上形成n 个空位，其可能的状态数!)!(!n n N N -=Ω!ln )!ln(!ln ln n n N N ---=Ω⇒;利用)1(ln !ln -≈m m m ⇒[])1(ln 1)ln()()1!(ln ln -------=Ωn n n N n N N N)1(ln ]1))[ln(()1(ln -+---+--=⇒n kTn n N n N kT N kTN nW F ⇒利用自由能判据=∂∂nF)1()1(ln )1)((]1)1[ln(0n kTn n kTn n N n N kT n kT W +-+---+---=⇒0ln )ln(=+--⇒n kT n N kT W,)(kTW e n N n --=⇒n 〈〈； kTW Nen -=⇒。

习题7.8气体以恒定的速度沿方向作整体运动。

试证明，在平衡状态下分子动量的最 概然分布为e[]2022)(2p ppp mxyx-+=--βα3Ldp dp Vdp zy x证： 设能级l ε这样构成：同一l ε中，P z 相同，而P x 与P y 在变化，于是有：)3(0)2(0)1(0-----==∑=-----==∑=-------==∑=∑∑∑lzlz l lll l l a p a p p a a E a a N δδδδεεδδδδδ(∑==0p a p p l z )参照教材玻耳兹曼分布证明；有 E N βδαδδ--Ωln -z p γ, 其中 ）（22221Z y x l p p p m++=ε 由(1)知:N dpdp dp ehV zy x p z=⎰---γβεα3将l ε代入 并配方得:zy x p p mdp dp dp ehV z z y x ⎰+-+--)2()(32γβεεβα=N dp dp dp ehV z y x m p mm z y x =⎰+-+---2)(2)()22(3βγβεεββγα其中 mp mp yy xx 2,222==εε对比page238式（7.2.4）得： 232232)2()2()2(2mkThn mkThVN em ππβγα==--整个体积内，分布在z z z y y y x x x dp p p dp p p dp p p +→+→+→,, 内分子数为：z y x z y x z y x m p mdp dp dp p p p f dp dp dp emkTN z y x ⎰⎰=+-+-),,()21(2)(2)(23βγβεεβπ由条件（3）知 ⎰=0),,(Np dp dp dp p p p f p z y x z y x z 计算得z m p m z y x dp em m p dp edp e mkTz yx2)(223)()21(βγββεβεβγβγπ+---⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=z m p my x dp em dp dp emkTz y x ⎰⎰+-+--2)(2)(23)()21(βγβεεββγπ=0p Ndp dp fdp m zy x =-⎰βγ0p m -=⇒βγ代入得出分布： []3)(22022"hdp dp Vdp ezy x p p p pmz y x-++--βα其中 βγαα22'm -=,0p m -=βγ习题7.9 (略)结合（7.8）求平均值。

习题7.10表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。

试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。

并求平均速率v ，最概然速 率m v 和方均根速率s v 。

解： 对于二维情形， )(2122y x p p m+=ε（准）连续能量下的简并度：-s hdpsdp yx ;2面积⇒玻耳兹曼分布：yx p p kTmdpdp ehsy x )(21222+--α ； 利用kTmN ehs N mehs N dpdp e hs yx p p my x πβπααβα22422)(2222=⇒=⇒=--+---∞∞+⎰⎰yx vv kTm dvdv ekTm N yx )(222)2(:+-⇒π速度分布率进而推出速率分布：vdv ekTNm kTmv22-习题7.11试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度12v v v r-=和相对速率r r v v=的概率分布，并求相对速率的平均值r v 。