2020年高考数学全真模拟试卷四（教研室）数学Ⅰ试题A ．必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={x ｜x ≥0},B =(－2,－1,0,2) ，则A ∩B = ▲ ． 2.已知复数z ＋i =－3＋ii,其中i 为虚数单位，则z 的模是 ▲ ． 3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4:3:2.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n 的值是 ▲ ． 4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x 的值为5,那么输出的y 的值是 ▲ ． 5.函数y =log 3(－x ＋5x －6)的定义域是 ▲ ．6.某国家队“短道速滑”项目有A ,B ,C ,D ，4名运动员.若这四人实力相当,现从中任选2名参加2022年冬奥会,则A ,B 至少有1人被选 中的概率是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线C : x 2a 2－y 2b2=1 (a >0，b >0)的一条渐近线垂直于直线y ＝2x －1则双曲线C 的离心率是 ▲ ． 8.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6cm . 当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23 (细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆, 则此圆锥形沙堆的高是 ▲ ．注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的 规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答 律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗. （第4题图）Read xIf x ≤4 Theny ←6x Elsey ← x ＋5 End If Print y（第8题）9.若S n ,是等比数列{a n }的前n 项和, S 3, S 9 , S 6成等差数列,则a 9a 6＝ ▲ ． 10. 已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数,且f (x ＋4)=f (x ),当0≤x ≤2时, f (x )=－x 2+ax ＋b ,对f (－1)的值是 ▲ ．11.已知三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB =4，点A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动,则OA → ・OC →的 最大值是 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 的方程为x 2+（y －1）2= 4.过点P (x 0，y 0)存在直线l 被圆C 截得的弦长为2 3 ,则实数x 0的取值围是 ▲ ． 13.已知函数f (x )=（a ＋1）x 2－bx ＋a ，若函数f (x )有零点、且与函 数y ＝f (f (x ))的零点完全相同，则实数b 的取值围为 ▲ ． 14.如图，在ABC 中已知2BC 2+AB 2=2AC 2,且BC 长线上的点D 足DA =DB ,则∠DAC 的最大值是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为 菱形、E 为棱A 1A 的中点,且O 为A 1C 1与B 1D 1的交点. (1) 求证: OE ∥平面ABC 1; (2) 求证: 平面AA 1C 1⊥平面B 1D 1E.16.(本小题满分14分)已知函数f (x ) = Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0,0≤的图象如图所示.(1) 求函数f (x )的解析式; (2) 若角α满足f (α)=2, α∈(3π4 ,7π4 )求sin（第11题）（第14题）ACBD（第15题） CBDEOC 1A 1D 1 B 117.(本小题满分14分)图1是某高架桥箱梁的横截面,它由上部路面和下部支撑箱两部分组成.如图2,路面宽度AB =10m,下部支撑箱CDEF 为等腰梯形(CD >EF ),且AC =BD .为了保证承重能力与稳定性,需下部支撑箱的面积为8m 2,高度为2m 且2m ≤EF ≤3m 若路面AB 、侧边CF 和DE 、底部EF 的造价分别为4a 千元/m,5a 千元/m,6a 千元/m (a 为正常数),∠DCF = θ. (1) 试用θ表示箱梁的总造价y (千元);(2) 试确定cos θ的值,使总造价最低?并求最低总造价.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,1)为椭圆E x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的上顶点，P为椭圆E 上异于上、下顶点的一个动点.当点P 的横坐标为2 33 时,OP ＝ 2 .(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 设M 为x 轴的正半轴上的一个动点.① 若点P 在第一象限,且以AP 为直径的圆恰好与x 轴相切于点M ,求AP 的长.② 若MA =MP ,是否存在点N ,满足PN → ＝4 PM →,且AN 的中点恰好在椭圆E 上?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.（第17题）（图1）（图2）A CFBD Eθ （第18题）APx y OM19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=e x－ax ,其中e 为自然对数的底数.(1) 若函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程为y =x ＋1,数a 的值; (2) 若函数f (x )有2个不同的零点x 1,x 2. ①数a 的取值围;②求证:2< x 1＋x 2<2ln a.20.(本小题满分16分)对于给定的数列{a n },{b n },设c k = max {ka 1+b 1,ka 2+b 2,…, ka k +b k }(k =1,2,…,n ), 即c k 是ka 1+b 1,ka 2+b 2,…, ka k +b k 中的最大值,则称数列{c n }是数列{a n },{b n }的“和谐数列”(1)设a n =n +1,b n =2n 求c 1,c 2, c 3的值,并证明数列{c nn}是等差数列；(2)设数列{a n },{b n }都是公比为q 的正项等比数列,若数列{c n }是等差数列,求公比q 的取值围; (3) 设数列{a n }满足a n ＞0,数列{c n }是数列{a n },{b n }的“和谐数列”,且ka i ＋b i ＋c k -i +1＝m (m 为常数,i =1,2, …, k ),求证:=m a n ＋b n ．2020年高考数学全真模拟试卷(四)（教研室）数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域．．．．．．．．．作答．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 1 ,矩阵B 的逆矩阵B -1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12 .若矩阵M ＝AB ,求矩阵M .B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝t －1， ,(t 为参数,曲线C 的参数 方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ，y ＝2｜cos θ｜，(θ为参数)求直线l 与曲线C 的交点坐标.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知x ,y ,z 均是正实数,且x 2＋9y 2＋4z 2＝36，求证x ＋y ＋z ≤7.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AP =AC =4,AB =2,D ,E 分别为棱BC ,PC 的中点,点F 在棱PA 上,设t ＝PFAF. (1)当t ＝13时,求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；(2)试确定t 的值，使二面角C -EF -D 的平面角的余弦值为42121 .23.(本小题满分10分)在我国南宋数学家辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当n 依次取0,1,2,3,…时(a ＋b )n展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{a n }.例:a 1=1,a 2=1+1,a 3=1+2 ,….(1) 写出数列{a n }的通项公式(结果用组合数表示),无需证明;（第22题）BACEPF(2) 猜想a1＋a2＋a3＋…＋a n,与a n+2的大小关系,并用数学归纳法证明.。