函数定义域、值域、解析式习题及答案
一、求函数的定义域
1、求下列函数的定义域：
⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$
先求分母的取值范围，$x+3\neq 0$，$x\neq -3$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。
然后考虑分子的取值范围，$x^2-2x-15$的值域为$(-\infty,-16]\cup [3,\infty)$，$2x-1$的值域为$(-
\infty,\infty)$，$4-x^2$的值域为$[-4,\infty)$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-3)\cup (-3,1)\cup (1,3)\cup (3,\infty)$。
⑵ $y=1-\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{x^2-4}$
先求分母的取值范围，$x^2-4\neq 0$，$x\neq \pm 2$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。
然后考虑分子的取值范围，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。
⑶ $y=x+1-\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}}$
先求分母的取值范围，$x-1\neq 0$，$x\neq 1$；$4-
x^2\neq 0$，$x\neq \pm 2$。
然后考虑分母的值域，
$1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}>0$，即$\frac{2x-1}{x^2-4}>-\frac{1}{x-1}$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-
2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。
4）$f(x)=\frac{x-3}{x^2-2}$的定义域为$(-\infty,-
\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2},3)\cup (3,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)$。
5）$f(x)=2x-9$的定义域为$(-\infty,\infty)$。
6）$f(x)=x+1-\frac{1}{2-\frac{x}{x+1}}=\frac{x^2+2x-
1}{x^2+x-2}$的定义域为$(-\infty,-1)\cup (-1,-2)\cup (2,\infty)$。
7）$y=\frac{x}{2-x}$的定义域为$(-\infty,2)\cup (2,\infty)$。
2、设函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，则函数$f(x+1)$的定义域为$[1,2]$。
函数$f(x-2)$的定义域为$[-2,-1]$。
若函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域是$[-\frac{3}{2},2]$；函数$f(-2)$的定义域为$[-1,0]$。
f(x+1)$的定义域为$[1,2]$，则$f(x)$的定义域为$[0,1]$，$f(x+1)$的定义域为$[2,3]$，则$f(x+2)$的定义域为$[1,2]$。
因此，$f(x+2)=f((x+2)-1)$的定义域为$[0,1]$。
f(x)$的定义域为$[-1,0]$，则$f(x+1)$的定义域为$[0,1]$，$f(x+1)=f((x+1)-1)$的定义域为$[-1,0]$。
4、$f(x+1)$的定义域为$[1,2]$，因此$f(x)$的定义域为$[0,1]$。
5、$f(x+1)$的定义域为$[-1,0]$，因此$f(x)$的定义域为$[-2,-1]$。
二、求函数的值域
5、求下列函数的值域：
⑴ $y=x+\frac{2}{x-3}$，$x\in R\backslash \{3\}$
当$x\rightarrow \pm \infty$时，XXX；当$x\rightarrow
3$时，XXX因此，$y$的值域为$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3},\infty)$。
⑵ $y=x+\frac{2}{x-3}$，$x\in [1,2]$
当$x=1$时，$y=-\frac{1}{2}$；当$x=2$时，XXX因此，$y$的值域为$[-\frac{1}{2},4]$。
⑶ $y=\begin{cases} 0.& x<5 \\ \frac{x}{x+1}。
& x\geq 5 \end{cases}$
当XXX时，$y\rightarrow 1$；当$x\rightarrow 5^+$时，
$y\rightarrow \frac{5}{6}$。
因此，$y$的值域为$[0,1]$。
5）$y=x-1-2x=-x-1$，$x\in [-1,3)$。
因此，$y$的值域为$[-4,0)$。
6）$y=-x+4x-1=3x-1$，$x\in [-1,3)$。
因此，$y$的值域为$[-4,8)$。
三、求函数的解析式
1、$2f(x+1)+f(x-1)=2x-4x$，即$2f(x)+f(x-2)=2(x-1)-4(x-
1)$，令$t=x-1$，则$2f(t+1)+f(t-1)=2t-2$，即$2f(t)+f(t-2)=2t-6$。
解得$f(t)=t^2-t+2$，因此$f(x)=(x-1)^2-(x-1)+2=x^2-3x+3$。
2、设$f(x)=ax^2+bx+c$，则$2f(x)+f(-x)=3x+4$，即
$2ax^2+2bx+2c+ax^2-bx+c=3x+4$。
比较$x^2$的系数得
$3a=2a$，即$a=0$；比较$x$的系数得$2b-b=3$，即
$b=\frac{3}{2}$；比较常数项得$2c+c=4$，即$c=\frac{4}{3}$。
因此，$f(x)=\frac{3}{2}x+\frac{4}{3}$。
3、设$f(x)=ax^2+bx+c$，则$2f(x)+f(-x)=3x+4$，即
$2ax^2+2bx+2c+ax^2-bx+c=3x+4$。
比较$x^2$的系数得
$3a=2a$，即$a=0$；比较$x$的系数得$2b-b=3$，即
$b=\frac{3}{2}$；比较常数项得$2c+c=4$，即$c=\frac{4}{3}$。
因此，$f(x)=\frac{3}{2}x+\frac{4}{3}$。
4、设$f(x)=ax^2+bx+c$，则$f(2x+1)=3x-2$，即
$a(2x+1)^2+b(2x+1)+c=3x-2$。
解得$a=1$，$b=-\frac{7}{2}$，$c=\frac{15}{4}$，因此$f(x)=x^2-\frac{7}{2}x+\frac{15}{4}$。
5、设$f(x)=ax+b$，则$f(x)-2f(0)=x$，即$ax+b-2b=x$，解
得$a=1$，$b=-2$，因此$f(x)=x-2$。
6、$f(x)=x+1$。
7、设$f(x)=\frac{ax+b}{x+1}$，则$f(1)=7$，$f(2)=1$。
解得$a=3$，$b=4$，因此$f(x)=\frac{3x+4}{x+1}$。
8、设$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x^2+1}$，则
$f(x+1)=\frac{ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)}{x^2+2x+2}$，$f(x+1)-
f(x)=\frac{(a-b)x+(c-a)}{x^2+1}$，因此$a-b=0$，$c-a=1$。
解
得$a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$，$c=1$，因此
$f(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$。
21、设$f(x)=\frac{ax+b}{x+1}$，则$f(-\frac{3}{2})=1$，$f(-1)=2$。
解得$a=-1$，$b=2$，因此$f(x)=\frac{-x+2}{x+1}$。
28、设$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x^2}$，则
$f(x+1)=a+\frac{(2a+b)x+(a+b+c)}{x^2}$，$f(x+1)-
f(x)=\frac{(b-2c)x+c}{x^3}$，因此$b-2c=0$，$c=1$。
解得
$a=0$，$b=2$，因此$f(x)=\frac{2}{x}$。
9、设$f(x)=ax^2+bx+c$，则$f(x)+2f(-x)=x-1$，即
$ax^2+bx+c+2ax^2-2bx+2c=x-1$。
比较$x^2$的系数得$3a=0$，即$a=0$；比较$x$的系数得$-2b=b+1$，即$b=-\frac{1}{3}$；
比较常数项得$3c=1$，即$c=\frac{1}{3}$。
因此，$f(x)=-
\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$。
10、⑴ $y=\frac{2-x}{3x+6}$，$y$的符号与$2-x$相同，$y$单调递减的区间为$(-\infty,2]$；
⑵ $y=\frac{1}{x}$，$y$的符号与$x$相同，$y$单调递减的区间为$(0,\infty)$；
⑶ $y=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$，$y$单调递增的区间为$(-\infty,-1)\cup (1,\infty)$。