第二章特殊三角形单元测试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列命题：①平方等于其本身的数有0，±1；②32xy3是4次单项式；③将方程=1.2中的分母化为整数，得=12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（）A．22 B．17 C．13 D．17或224．如图，点D是△ABC中AB边上的一个动点，点D关于AC，BC对称点分别是点E和点F，∠A=45°，∠B=75°，AC=8，则EF的最小值是（）A．4B．8 C．4D．45．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A．20°、20°、140°B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°D．40°、40°、100°或70°、70°、40°6．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．57．如果一个三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“动感三角形”．下列各组数据中，能作为一个动感三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，8．如图，在4×5的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C个数为（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF ⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）A．3 B．4 C．8 D．910．在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC 边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论有（）个．A．1个B．2个 C．3个D．4个二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）11．[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2，若y=x﹣[x]，下列命题：①当x=﹣0.5时，y=0.5；②y的取值范围是：0≤y≤1；③对于所有的自变量x，函数值y 随着x增大而一直增大．其中正确命题有（只填写正确命题的序号）．12．在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，则∠C=°，∠A=°．13．如图，△ABC中，若∠ACB=90°，∠B=55°，D是AB的中点，则∠ACD=°．14．如图所示，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是AE=1，CF=2，则EF长为．15．如图，是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC与△A′B′C′，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A′B′C′的斜边A′B′上，当∠A=30°，AC=10时，则此时两直角顶点C、C′间的距离是．16．在一个直角三角形中，斜边上的中线长为5，一条直角边长为8，则另一条直角边的长为．17．如图，△ABC中，∠BAC=75°，BC=7，△ABC的面积为14，D为BC边上一动点（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为．18．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；其中正确的是．19．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P′，连CP′，则线段CP′的最小值为．20．如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD 均为等腰三角形，则满足条件的点P有个．三．解答题（共6小题，满分50分）21．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，（1）作AB的垂直平分线MN交AC于点D，连BD，（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要写作法）（2）在（1）中作出AB的垂直平分线MN后，写出∠CBD的度数．（直接写出答案）22．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作∠DAC的平分线AM；②连接BE并延长，交AM于点F．（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论．23．（8分）【问题提出】我们知道对于任何一个封闭的平面图形．是否存在既平分周长，又平分面积的直线．【问题探究】（1）请在图1的三个图形中，分别做一条直线，使这条直线既平分周长，又平分面积．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB上的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．【问题解决】（3）如图3，四边形ABCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中AB=AD=9，BC=5，CD=13，∠A=90°．为了方便驻区单位，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．并且要求路的一个出口在DC边上，你认为这样的路是否存在？若存在，请求出路的另一个出口与点A的距离；若不存在，请说明理由．24．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD和AE，求∠D，∠DAE的度数．25．（9分）如图，在边长为1的正方形网格内，点A、B、C、D、E均在格点处．请你判断∠x+∠y的度数，并加以证明．26．（10分）在等边△ABC中，点D、E（不与点A、B、C重合）分别是边AC、AB上的点，点P是平面内一动点，设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a．（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示．则∠1+∠2的值．（可用含∠α的代数式表示）（2）若点P在△ABC的外部，如图2所示．则∠1、∠2、∠α之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．（3）若点P在边BC的延长线上运动时，请在图3、图4中分别画出相应的图形，并直接写出∠1、∠2、∠α之间的关系式，但不要求证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：C．2．解：①错误，﹣1的平方是1；②正确；③错误，方程右应还为1.2；④错误，只有每任意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线，若四点在同一直线上，则只有画一条直线了．故选：A．3．解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是9，但是4+4＜9，故不能构成三角形，舍去．②若4是底，则腰是9，9．4+9＞9，符合条件，成立．故周长为：4+9+9=22．故选：A．4．解：如图，连接CD，CE，CF，∵点D关于AC，BC对称点分别是点E和点F，∴CE=CD=CF，∠ACB=∠ECF，∴△CEF是等腰三角形，∵∠A=45°，∠B=75°，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，∠CEF=∠CFE=30°，∴当CE，CF最短时，EF最短，∵当CD⊥AB时，CD最短，而AC=8，∴Rt△ACD中，CD=4，∴CE=CD=CF=4，过点C作CG⊥EF，则等腰三角形ECF中，EF=2EG，∵Rt△CEG中，CG=CE=2，∴EG=2，∴EF=2EG=4．故选：A．5．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个底角度数为40°，100°．故选：D．6．解：如图：过E作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，BD平分∠ABC，∴AD=DE，∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BD=5，由勾股定理得：AD=3，∴DE=3，即点D到BC的距离是3，故选：B．7．解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“动感三角形”的定义，故选项正确．故选：D．8．解：如图，根据勾股定理知AB2=12+32=10．∵12+32=10，+=10，+=10，∴符合条件的点C有6个．故选：D．9．解：如图，设BD=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，∴BF=2x，∴CF=12﹣2x，∴CE=2CF=24﹣4x，∴AE=12﹣CE=4x﹣12，∴AD=2AE=8x﹣24，∵AD+BD=AB，∴8x﹣24+x=12，∴x=4，∴AD=8x﹣24=32﹣24=8．故选：C．10．解；连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，在△ADF和△CEF中，，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；当D、E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形，②错误；∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF =S△ADF，∴四边形CDFE的面积=S△ACF =S△ACB，∴四边形CDFE的面积保持不变，③正确；∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=AC=4，∴DE=DF=4，当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小，∴S△CDE =S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，④正确，故选：C．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）11．解：①根据题意可得[x]=﹣1，所以y=x﹣[x]=﹣0.5﹣（﹣1）=0.5，所以此命题正确；②中y的取值范围是：0≤y＜1，错误；③当x取一正一负时，函数值y有可能随着x增大而一直增大，错误．正确命题有①．12．解：如图所示：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣30°=120°．故答案为：30，120．13．解：∵∠ACB=90°，∠B=55°，∴∠A=35°，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=35°，故答案为：35．14．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥BE，CF⊥BF，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∠ABE+∠FBC=90°，∴∠EAB=∠FBC，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE=CF=2，AE=BF=1，∴EF=BE+BF=3．故答案为3．15．解：连接C′C，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，∴M是AC、A′C′的中点，AC=A′C′，∴CM=A′M=C′M=AC=5，∴∠A′=∠A′CM=30°，∴∠CMC′=60°，∴△MCC′为等边三角形，∴C′C=CM=5，∴C′C长为5．故填：5．16．解：∵直角三角形斜边上的中线长为5，∴直角三角形斜边为10，∴另一条直角边的长==6，故答案为：6．17．解：如图，过E作EG⊥AF，交FA的延长线于G，由折叠可得，AF=AE=AD，∠BAE=∠BAD，∠DAC=∠FAC，又∵∠BAC=75°，∴∠EAF=150°，∴∠EAG=30°，∴EG=AE=AD，当AD⊥BC时，AD最短，∵BC=7，△ABC的面积为14，∴当AD⊥BC时，AD=4=AE=AF，∴△AEF的面积最小值为：AF×EG=×4×2=4，故答案为：4．18．解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=（180°﹣30°）=75°，∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°，∴∠ECA=165°，∴①正确；②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已证），∴∠BCE=∠ECA﹣∠ACB=165°﹣90°=75°，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=BC，∴②正确；③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，∴∠CAB=∠ABC=45°∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45°﹣30°=15°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=30°，∴∠ABF=45°+30°=75°，∴∠AFB=180°﹣15°﹣75°=90°，∴AD⊥BE．故答案为：①②③；19．解：如图所示，过P'作P'E⊥AC于E，则∠A=∠P'ED=90°，由旋转可得，DP=P'D，∠PDP'=90°，∴∠ADP=∠EP'D，在△DAP和△P'ED中，，∴△DAP≌△P'ED（AAS），∴P'E=AD=2，∴当AP=DE=2时，DE=DC，即点E与点C重合，此时CP'=EP'=2，∴线段CP′的最小值为2，故答案为：2．20．解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC，如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC，故答案为5．三．解答题（共6小题，满分50分）21．解：（1）如图所示就是所作的图形．（2）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DA=DB，∴∠ABD=∠A=30°，又∵∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠CBD=75°﹣30°=45°．故答案为：45°．22．解：（1）如图所示，AM是∠DAC的平分线；（2）BC=AF，BC∥AF．理由：在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C，∠C+∠ABC+∠BAC=180°，∴∠C=90°﹣∠BAC，∵AM是∠CAD的平分线，∴2∠CAM=∠CAD，∵∠BAC+∠CAD=180°，∴2∠CAM+∠BAC=180°，∴∠CAM=90°﹣∠BAC，∴∠C=∠CAM，∴AF∥BC，∵点D是AC中点，∴AE=CE，在△BCE和△FAE中，，∴△BCE≌△FAE，∴BC=AF即：BC=AF，BC∥AF．23．解：（1）根据分析，可得．（2）如图2，，存在过AB的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∴BC==5，设AM=x，直线MQ既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，则BM=3﹣x，CQ=（3+4+5）÷2﹣x﹣4=2﹣x，BQ=5﹣（2﹣x）=x+3，∵，=6÷2=3，∴S△BMQ∴，解得x=或﹣（舍弃），∴存在过AB上的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，此时AM=．（3）如图3，作CM⊥AD于点M，FN⊥AD于点N，，存在这样的路EF，使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD 的面积．∵AB=AD=9，BC=5，CD=13，∴四边形ABCD的周长为：9+9+5+13=36；设AM=a，则DM=9﹣a，CM=b，则解得=（9+12）×4÷2+12×（9﹣4）÷2=72∴S四边形ABCD设AE=x，则BE=9﹣x，DF=36÷2﹣x﹣9=9﹣x，CF=13﹣（9﹣x）=x+4，∵CM⊥AD，FN⊥AD，∴FN∥CM，∴=，∴=，解得FN=，ND=（9﹣x），∴×[9﹣]÷2+×÷2=72÷2=36整理，可得5x2﹣36x+36=0，解得x=6或．∴存在这样的路EF，使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD 的面积，此时AE=6或．24．解：∵∠ABC=50°，∠ACB=80°（已知），∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣80°=50°（三角形内角和等于180°），∵DB=BA（已知），∴∠D=∠DAB=∠ABC=25°（等边对等角），∵CE=CA（已知），∴∠E=∠CAE=∠ACB=40°（等边对等角），∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=25°+50°+40°=115°．25．解：∠x+∠y=45°．证明：如图，以AG所在直线为对称轴，作AC的轴对称图形AF，连接BF，∵网格中的小正方形边长为1，且A、B、F均在格点处，∴AB=BF=，AF=．∴AF2=AB2+BF2∴△ABF为等腰直角三角形，且∠ABF=90°．∴∠BAF=∠BFA=45°．∵AF与AC关于直线AG轴对称，∴∠FAG=∠CAG．又∵AG∥EC，∴∠x=∠CAG．∴∠x=∠FAG．∵DB∥AG，∴∠y=∠BAG．∴∠x+∠y=∠FAG+∠BAG=45°．26．解：（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，∴∠1+∠2=∠A+α，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠1+∠2=60°+α．故答案是：60°+α；（2）∠α=∠1﹣∠2+60°．理由如下：如图（2），设AC与PE交于点F，．∵∠1为△PFD的外角，∴∠1=∠α+∠PFD．∵∠2为△AEF的外角，∴∠2+∠A=∠AFE∵∠A=60°，∠AFE=∠PFD∴∠2=60°+∠PFD∴∠1﹣∠2=∠α﹣60°∴∠α=∠1﹣∠2+60°；（3）如图（3）时：∠α=∠2﹣∠1﹣60°；如图（4）时：∠α=∠1﹣∠2+60°．。