() Ⅰ相互垂直的两个力的合成，如图2－2－2 a 所示，合力F的大小为F＝ F12 F22 ，方向与F1的 F2 夹角为，tan＝ F1
(Ⅱ)夹角为的两个等大的力的合成，如图 2－2－2 b 所示，合力的大小为F＝2F1cos ，方向 2 与F1或F2的夹角为


2
问题：合力的大小范围如何确定？
解答：如果不加限制，从数学角度来看，将一 个力分解答案将无穷多．从物理学角度来看，这样 分解一个力是没有意义的．因此我们分解力时，要 遵循以下原则才有意义：
①按照力产生的实际效果分解． ②按照题设条件或解题实际需要分解。
问题：分解一个力有几种可能的情况？
解答：(1)已知两个不平行分力的方向，对力F 进行分解，其解是唯一的． (2)已知一个分力的大小和方向，对力F进行分 解，其解是唯一的．
即 即
所以 F1＝4N，F2＝3N.
答案：D
点评：由于力的合成满足平行四边形定 则，则合力与分力大小的关系是： ①合力可能大于任意一个分力；
②合力可能大于其中一个分力，小于另 一个分力； ③合力可能比任意一个分力都小．
警示：合力和分力不能重复考虑，“性 质力”和效果力不能同时考虑．
二、力的分解 问题：力的分解原则是怎样？
答案：D
2.(多选)如图2－2－10所示，楔形木块静止于水 平粗糙地面上，斜面与竖直墙之间放置一表面光滑 的铁球，斜面倾角为θ，球的半径为R，球与斜面接 触点为A.现对铁球施加一个水平向左的力F，F的作 用线通过球心O，若缓慢增大压力F，在整个装置保 持静止的过程中( )
A．任一时刻竖直墙对铁球的作用力都大于该 时刻的水平外力F B．斜面对铁球的作用力缓慢增大
(2)当已知合力F的方向及一个分力F1 的大小、 方向时，另一个分力F2 取最小值的条件是：所求 分力F2与合力F垂直，如图2－2－6(b)所示，F2的 最小值为：F2min＝F1sinα.
(3)当已知合力F的大小及一个分力F1 的大小 时，另一个分力F2 取最小值的条件是：已知大小 的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为|F－F1|.
例2：如图2－2－5所示，小车上固定着三角 硬杆，杆的端点处固定着一个质量为m的小 球．当小车有水平向右的加速度且从零开始逐渐 增大时，杆对小球的作用力的变化(用F1至F4表示 变化)可能是下图中的(OO′沿杆方向)( )
解析：以小球为研究对象，受到重力和杆 对小球的作用力，沿水平方向和竖直方向分解 杆对小球的作用力，竖直方向的分力和重力平 衡，所以C选项正确．
一、力的合成
1．合力和分力
(1)一个力产生的效果如果能跟原来几个力共 同作用产生的效果相同，这个力就叫那几个力的 合力 ，求几个力的合力叫 力的合成 . (2)合力和分力是一种 等效替代 的关系．
2．共点力：物体受到的各力的 作用线 或 作用线的延长线能相交于一点的力，这几个力就称 为共点力．
3．力的运算法则： (1)平行四边形定则：如图2－2－1甲所示， 求两个 互成角度的共点力 的合力，可以用表 示这两个力的线段为邻边作 平行四边形 ，这 个平行四边形的对角线表示合力的 大小 和 方向 .
点评：(1)解答此类问题的关键是找到临界 条件，根据AO、BO各自的最大承重能力，质量 增加时，哪条绳中的弹力先达到最大承重力成 为分析问题的关键．(2)本题除了按照实际效果 进行分解外，还可以应用正交分解法或三角形 法求解． 解析：解决临界问题，除了使用物理分析 方法解决，还常常可用数学方法．但是利用数 学方法求出极值后，一定要依据物理原理对解 的合理性和物理意义进行讨论或说明．
C．斜面对地面的摩擦力保持不变
D．地面对斜面的作用力缓慢增大
解析：球的受力情况如图所示，则有 FNAcosθ＝mg，FN2＝F＋FNAsinθ，可知FNA 不变，FN2随F增大而增大，地面对斜面的支 持力和摩擦力均不变．
答案：AC
3.(单选)如图2－2－11所示，用一根长为L 的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m 的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角且绷 紧，小球A处于静止，则需对小球施加的最小 力等于( ) C
解答：(1)两个共点力的合成
|F1 －F2|≤F 合 ≤|F1 ＋F2|即两个力大小不变 时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反 向时，合力最小，为|F1 －F2|，当两力同向时， 合力最大，为|F1＋F2|.
(2)三个共点力的合成
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为 Fmax＝F1＋F2＋F3. ②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组 成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin ＝0，如不能，则合力的最小值的大小等于最大的 一个减去另两个力之和的绝对值．Fmin＝F1－|F2＋ F3|(F1为三个力中的最大值)．
1.(单选)(2010·江苏卷)如图2－2－9所示，置 于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机， 三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成 30°角，则每根支架中承受的压力大小为( )
1 A mg 3 3 C mg 6
2 B mg 3 2 3 D mg 9
解析：把每根支架中承受的压力向竖直方 向和水平方向进行分解，得到水平方向合力为 2 3 零，竖直方向 3Fcos30＝mg， F＝ mg. 9
例1：如图2－2－3为两个共点力的合力F随 两分力的夹角θ的变化而变化的图象，则这两个 力的大小分别为( ) A．1N和4N B．2N和3N C．1N和5N D．3N和4N
解析：设分力为F1、F2，由图可知， 2 F12＋F12＝25；＝ ，F＝1N， F1－F2＝1N，
＝ ，F＝5N，

(2)利用平行四边形定则计算 ①当F1 、F2 在同一直线上，同向时F＝ F1 ＋F2 ，方向和F1 、F2 方向一致；当F1 、F2 反向时F＝|F1 －F2|，方向和F1 、F2 中较大的 力的方向一致． ②当F1、F2成任意角度时，计算起来比 较繁杂，中学阶段不要求，只要求会利用直 角三角形知识求解F1、F2成直角或可以转化 为求直角的合成问题．
四、运用力的分解和合成分析判断物体的临界状 态或计算极值 问题：处理临界状态的一般方法是什么？
解答：物体系统由于某些原因而发生突变时 所处的状态，叫临界状态．平衡物体的临界问题 的求解方法一般是采用假设推理法，基本步骤是： (1)明确研究对象；(2)画受力图；(3)假设可发生 的临界现象；（4）列出满足所发生的临界现象 的平衡方程求解．
(2)三角形定则：如图乙所示，把两个矢量首 尾相连，从而求出合矢量的方法．
二、力的分解
1．求一个已知力的 分力 叫做力的 分解．力的分解遵循 平行四边形定则 . 2．力的分解是力的合成的逆运算，力 的分解有两种常见的方式：一是按着合力在 不同方向上的 作用效果 来确定这两个方 向上的分力；二是将合力分解为互相垂直的 两个方向，即力的 正交分解 .
三、正交分解法
1．把一个力分解成两个互相垂直的分力，这 种分解方法称为正交分解法．
2．用正交分解法求合力的步骤： ①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向；
②把各个力向x轴、y轴上投影，但应注意的是： 与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相 反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解 的力的分力的方向；
A . 3mg 1 C . mg 2
3 B . mg 2 3 D . mg 3
4.(多选)如图2－2－12所示，AB为半圆的一条直 径，AO＝OB，P点为圆周上的一点，在P点作用了三 个共点力，大小分别为F1、F2、F3，则它们的合力的 大小为( )
A． 3F2 C. 3 2 2 F1 F3 2
例3：如图2－2－7所示，在固定于地面的光 1 滑斜面上垂直安放一个挡板，截面为 圆的柱状 4 物体甲放在斜面上，半径与甲相等的光滑圆球乙 被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静 止状态．现在从球心O1处对甲施加一平行于斜面 向下的力F，使甲沿斜面方向极其缓慢地移动， 直至甲与挡板接触为止．设乙对挡板的压力为F1， 甲对斜面的压力为F2，在此过程中( )
例4：三段不可伸长的细绳OA、OB、OC 能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物， 如图2－2－8所示，其中OB是水平的，A端、B 端固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则 最先断的绳是( ) A．必定是OA
B．必定是OB
C．必定是OC
D．可能是OB，也可能是OC
解析：由于重物重力作用使细绳OC对O点 有向下的拉力FC，大小等于重物的重力，拉力 FC 有 两 个 效 果 ， 一 是 产 生 拉 细 绳 OA 的 拉 力 FA(大小等于OA承受的拉力)，二是产生拉细绳 OB的拉力FB(大小等于OB承受的拉力)，作出 FC的分解图如图所示．从图中可以看出，FA最 大，即若逐渐增加C端所挂物体的质量，细绳 OA最先断． 答案：A
③ 求在x轴上的各分力的代数和Fx 合 和在y轴上
的各分力的代数和Fy 合；
④ 求合力的大小F＝ Fx合 2 + Fy合 2
合力的方向：tan＝ Fy合 Fx合 ( 为合力F 与x轴的夹角)．
一、力的合成、合力和分力的关系
问题：共点力合成的方法有哪些？
解答：(1)利用平行四边形定则作图求解 具体方法是：将两个分力按力的图示画出来， 以这两个分力作平行四边形，和分力共点的对角 线也用力的图示画出来，力的大小可以直接读出， 力的方向用量角器测量出来．
A．F1缓慢增大，F2缓慢增大
B．F1缓慢增大，F2缓慢减小
C．F1缓慢减小，F2缓慢增大
D．F1缓慢减小，F2不变
解析：以甲、乙为整体，分析沿斜面方向上 系统受到的外力有：两者重力分力(M＋m)gsinθ、 F及挡板对乙的弹力F1，则有： F1＝(M＋m)gsinθ＋F； 在垂直斜面方向上有：
(3)已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大 小，由图2－2－4(a)可知：当F2＝Fsinθ时，分解是 唯一的；当Fsinθ<F2<F时，分解不唯一，有两解； 当F2>F时，分解也是唯一的；当 F2<Fsinθ时，无 解．