2013-7-10
第二章 随机信号分析
7
3.协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2) 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机 变量之间的关联程度时，常用协方差函数 B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。 协方差函数B(t1, t2)定义为： B(t1,t2)=E｛[X(t1)-a(t1)][X(t2)-a(t2)]｝
2013-7-10
第二章 随机信号分析
26
f(x)具有如下特性： • (1) f(x)对称于x=a这条直线。 a 1 • (2) f ( x)dx 1 且 f ( x)dx f ( x)dx



a
2
• (3) 当σ不变时，对于不同的a，表现为f(x) 的图形左右移动； • 当a不变时，对于不同σ的，表现为f(x)的图 形随σ的减小而变高和变窄。 • (4) 当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布 的密度函数。
2013-7-10
第二章 随机信号分析
17
（1）R(0)=E［ξ2(t)］=S （2）R(τ)=R(-τ) （3）|R(τ)|≤R(0) （4）R(∞)=E2［ξ(t)］
［ξ(t)的平均功率］(2.4-1） ［τ的偶函数］ ［R(τ)的上界］ （2.4-2） （2.4-3)
［ξ(t)的直流功率］（2.4-4）
a(t ) E[ X (t )]
2 0
1 A cos( wc t ) d 2
A 2

2
0
(cos wct cos sin wct sin )d
2 2 A [cos wct (cos d sin wct sin d ] 0(常数） 0 0 2
这里利用了当τ→∞时，ξ(t)与ξ(t+τ)没有依赖关系，即统计 独立，且认为ξ(t)中不含周期分量。 （5）R(0)-R(∞)=σ2 ［方差，ξ(t)的交流功率］(2.4 - 5)
2013-7-10
第二章 随机信号分析
18
3.2.4平稳过程的功率谱密度
• 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度 来表述的。 • 任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密 度为：
第二章 随机信号分析
• 2.1引言 • 2.2随机过程的一般描述 • 2.3平稳随机过程 • 2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 • 2.5高斯过程 • 2.6窄带随机过程 • 2.7正弦波加窄带随机过程 • 2.8随机过程通过线性系统
2013-7-10 第二章 随机信号分析 1
§2.1引言
F1 ( x1, t1 ) P{ (t1 ) x1}
• 叫做随机变量ξ(t1)的一维分布函数
2013-7-10 第二章 随机信号分析 5
同理，任给t1, t2, …, tn∈T, 则ξ(t)的n维分布函数为：
Fn ( x1, x2 , xn ; t1, t2 ,tn ) P { (t1 ) x1, (t2 ) x2 , (tn ) xn}
A2 A2 cos wc (t2 t1 ) 2 2

2
0
1 cos[wc (t2 t1 ) 2 ] d 2
A2 cos wc (t 2 t1 ) 0 2 A2 2 cosc ( )
2013-7-10 第二章 随机信号分析 15
• X(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与 时间间隔τ有关，所以X(t)为平稳过程。
• 平均功率S=R（0）= A2/2。
2013-7-10 第二章 随机信号分析 24
3.3 高斯随机过程
• 若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分 布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态 过程。重要性质： • （1）广义平稳的高斯过程也必是狭义平稳的； • （2）对于高斯过程在不同瞬间的值，互不相干 和相互独立是等价的； • （3）一高斯过程通过线性系统，其输出还是高 斯过程。
a(t ) E[ X (t )] xp( x; t )dx

2. 方差:表示随机过程X(t)在时刻t对于均值a(t) 的偏离程度，即均方值与均值平方之差
2 (t ) D[ X (t )] E{[ X (t ) E( X (t ))]2 } E[ X (t ) a(t )]2 [ x a(t )]2 p1 ( x; t )dx
• 随机过程定义： –设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试 验都有一条时间波形（称为样本函数或 实现），记作xi(t)，所有可能出现的结 果的总体{x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就 构成一随机过程，记作ξ(t)。 • 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
2013-7-10 第二章 随机信号分析 3
R(τ)


Pξ(ω)
jwr
p (w) R( )e

d
1 R( ) 2
2013-7-10

P (W )ejwrdW21
第二章 随机信号分析
[例] 求某随机相位正弦波 X(t)=Acos(ω0t+θ)的自相关函数、功率谱 密度和平均功率，其中A和ω0均为常数，θ是 在(0,2π)内均匀分布的随机变量。 • 解：先求X(t)的数学期望
a(t ) a
(t )
2
2
R(t1 , t 2 ) R( )
2013-7-10 第二章 随机信号分析 11
2.3.2各态历经性与时间平均
• “各态历经”的含义：平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状 态。 • 各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例
各态历经过程的统计平均值mX：
Pf (w) lim
T
FT (W ) T
2
2013-7-10
第二章 随机信号分析
19
f (t)
… O
… t
f T(t)
T － 2
O
T 2
t
图3-2 功率信号f(t)及其截短函数
2013-7-10 第二章 随机信号分析 20
• 确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度 是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有 类似的关系，即平稳随机过程的功率谱密度Pξ(ω) 与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换关系：
样本空间
S1 S2 Sn x2 (t) t x1 (t) t
(t)
xn (t) t tk
• 样本函数的总体
2013-7-10 第二章 随机信号分析 4
2.2.1随机过程的统计特性
• 设ξ(t)表示一个随机过程， • 在任意给定的时刻t1∈T， 其取值ξ(t1)是一 个一维随机变量。 • 随机变量的统计特性可以用分布函数或概 率密度函数来描述。我们把随机变量ξ(t1) 小于或等于某一数值x1的概率F1(x1, t1)
1 m X lim T T

T /2
T / 2
X i (t )dt
各态历经过程的自相关函数RX():
1 R X ( ) lim T T

T /2
T / 2
X i (t ) X i (t )dt
一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平 稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有 各态历经性。
2013-7-10 第二章 随机信号分析 12
• [例]某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其 中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的 随机变量。判断X(t)是否广义平稳，求X(t)的 自相关函数。
2013-7-10
第二章 随机信号分析
13
• [解]： X(t)的数学期望为：
2013-7-10 第二章 随机信号分析 25
3.3 高斯过程（正态随机过程）
定义： 高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量， 其一维概率密度函数可表示为: 1 ( x a) 2
f ( x) 2 exp( 2
2
)
式中，a = E[X(t)] 为均值
2 = E[X(t) - a]2 为方差 为标准偏差
pn ( x1 , x2 ,...,xn ; t1 , t 2 ,...,t n ) p( x1 , x2 ,...,xn ; t1 , t2 ,...tn )
2013-7-10 第二章 随机信号分析 10
• 2、广义平稳随机过程 广义平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的 数字特征：它的均值、方差与时间无关；它 的自相关函数只与时间间隔τ有关。 广义平稳随机过程定义：
2013-7-10
第二章 随机信号分析
22
• X(t)的自相关函数为：
R(t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )]
E[ A cos(wc t1 ) A cos(c t 2 )]
A2 E[coswc (t2 t1 ) cos[wc (t2 t1 ) 2 ] 2
a(t ) E[ X (t )]
A 2
2 0
1 A cos( wc t ) d 2

2
0
(cos wct cos sin wct sin )d
2 2 A [cos wct (cos d sin wct sin d ] 0(常数） 0 0 2
A2 A2 cos wc (t2 t1 ) 2 2

2
0
1 cos[wc (t2 t1 ) 2 ] d 2
A2 cos wc (t 2 t1 ) 0 2 A2 2 cosc ( )
2013-7-10 第二章 随机信号分析 23
• X(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与 时间间隔τ有关，所以X(t)为平稳过程。 • 根据平稳随机过程的自相关函数与功率谱 密度是一对傅里叶变换，则功率谱密度为 • P（ω）=FT（R（t1,t2）） =（πA2/2）［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］