联合平稳过程定义
设 {X(t),t∈T} 和 { Y(t),t∈T} 是两个平稳过程，若它们 的互相关函数 E[Y (t ) X (t )] 和
E[ X (t ) Y (t ) ] 仅与 τ 有关，而与t无关，则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。


观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍 历”各种可能的状态。
定义6.10
设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，若
1 l.i.m T 2T

T
T
均方值： 方差：
mX(t) = E[X(t)];
φ X(t) = E[X2(t)]； D[X(t)] = E[X2(t)]-[E(X(t))]2 =φX(t)-mX2(t);
自相关函数： RX(t1,t2) = E[X(t1)X(t2)]； 协方差函数： BX(t1,t2) = RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2)
2.4 平稳过程的各态历经性
集合平均
mX E[ X (t )]
mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计 平均。
1 X (t ) l.i. m T 2T
T
时间平均

T
X (t )dt
<X(t)> 是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，
它随样本不同而不同，是个随机变量。
时间平均
（4）平稳过程的自相关函数是时间 τ 的单变量函数。
RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )] x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t , t )dx1dx2 x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 RX ( )
d
a.e
m. s P
d
不收敛
举例:
（1） 若
Xn X
m.s
, 则
Xn X
P
证明：
举例：
（2）若
Xn X
a.e
,
则
Xn X.6
设有二阶矩过程{X(t),t∈T}，若对每一个t∈T，有
h 0
lim E[| X (t h) X (t ) |2 ] 0
例题2-2：
设{Xt，t=0, ±1, ±2, …}是实的互不相关随机变量序
列，且E[Xt] = 0, D[Xt] = σ2。试讨论随机序列 X(t)=Xt的
平稳性。
例题2-3：
设S(t)是一周期为T的函数， θ在(0,T)上均匀分布， 称X(t)=S(t+θ)为随机相位周期过程，讨论其平稳性。
2.2 联合平稳过程及自相关函数的性质
称为随机分析。
处处收敛
对于概率空间 (Ω,F,P) 上的随机序列 {Xn} 每个试验
结果 e 都对应一序列，如果该序列对每个 e 都收敛，则称 随机序列 {Xn} 处处收敛，即满足：
n
lim X n X
其中，x为随机变量。
以概率1收敛
二阶矩随机序列 { Xn(e) }，二阶矩随机变量X(e)，若
P{e : lim X n (e) X (e)} 1
n
称 Xn(e) 以概率1收敛于随机变量X ，或称{Xn(e)}几乎 处处收敛于X(e)，记作
a .e
Xn X
依概率收敛
若对于任给ε>0，有
lim P{| X n (e) X (e) | ] 0
n
称二阶矩随机序列 Xn 依概率收敛于二阶矩随机变量 X，记作: (probability收敛)
稳过程。
严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，
在实际应用中难以确定。
当产生随机现象的一切主要条件可以视为不随时间 的推移而改变时，这类过程可以看作为平稳的。 例如：电子管中散弹效应引起的电路中的噪声电压; 通信，自动控制等领域的许多过程都可以认为是平稳随 机过程。
严平稳过程的数字特征
均值：
严平稳过程和宽平稳过程的关系：
（1）宽平稳过程不一定是严平稳过程；
（2）严平稳过程只有当二阶矩存在时为宽平稳过程；
（3）但是对于正态过程，其分布由均值和方差函数完
全确定，二者是等价的。 下面的讨论都是针对宽平稳随机过程，简称平稳随 机过程。
例题2-1：
设Y是随机变量，试分别考虑X1(t) = Y和 X2(t) = tY 的平稳性。

E|
X (t )dt | R
a a a
b b
X
(t1 , t 2 )dt1dt2
结论：数学期望和积分运算可以交换顺序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续， 则
Y (t ) X ( )d
a
t
在均方意义下存在，且随机过程 {Y(t), t∈T} 在区间[a,b] 上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也
是平稳过程。
平稳过程自相关函数的性质
设 { x(t), t∈T } 为平稳过程，则其相关函数具有下列性质： （1）
R X (0) 0
RX ( ) RX ( ),
RX (0) | RX ( ) |
（2）
（3）
（4） 若 X(t) 是周期为T的周期函数，即 X(t)=X(t+T)，则
2 2
课堂练习:
已知平稳随机过程的自相关函数为: 求其均值和方差.
4 RX ( ) 36 1 5 2
2.3 平稳过程随机分析
在普通函数的微积分中，连续、导数和积分的概念
是建立在极限概念的基础上。 对于随机过程，随机过程的连续性、导数和积分的 等概念都是建立在随机序列极限的基础上。这部分内容
P
Xn X
均方收敛
设有二阶矩随机序列 {Xn} 和二阶矩随机变量X，若有
n
lim E[| X n X |2 ] 0
成立，则称 {Xn} 均方收敛于X，记作: (Mean-square收敛)
Xn X
m.s
依分布收敛
二阶随机序列 {Xn} 相应的分布函数为 {Fn(x)} ，二阶 矩随机变量X对应的分布函数为F(x)。对F(x)的每一个连 续点处，有
则称X(t)在 t 点均方可微，记作
dX (t ) X (t h) X (t ) X (t ) l.i.m h0 dt h
并称X’(t)为 X(t) 在 t 点的均方导数。
定理6.6
设 {X(t),t∈T} 均方可微，RX(t1，t2) 在 {(t,t), t∈T} 每 一点上广义二阶可微，则有：
i 1
则称 f(t)X(t) 在区间 [a,b] 上均方可积，记作
S

b
a
f (t ) X (t )dt l .i.m f (ti' ) X (ti' )(ti ti 1 )
i 1
n
定理6.8
设f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，则有 1.
E[

b
a
f (t ) X (t )dt]
1. 2. 3. 4. dm x dE [ X (t )] E [ X ' (t )] dt dt Rx (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )] E [ X ' (t1 ) X (t2 )] t1 t1 Rx (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )] E [ X (t1 ) X ' (t2 )] t2 t2 Rx (t1 , t2 ) Rx ( t1 , t2 ) E [ X ' (t1 ) X ' (t2 )] t1t2 t2t1


x (t ) E[ X (t )] x 2 f1 ( x)dx 常数
2

D[ X (t )] 常数
（2）若随机过程X(t)是平稳过程，则其均值、均方值和方差
均为与时间无关的常数。
（3） 对于平稳随机过程 X(t) 的二维分布只与时间差有关 F2(X1, X2; t1, t2) = F2(X1, X2; t 1+ ε, t2+ ε)， 若令ε= -t1，则： F2(X1, X2; t1, t2 )=F2 ( X1, X2; 0, t2-t1 )， 令t2-t1 = τ ，则： F2(X1,X2; t1,t2 )=F2(X1,X2; τ )
集合平均
大数定理
设独立同分布的随机变量序列{Xn,n=1,2, …}，具有
E[Xn]=m, D[Xn]=σ2, (n=1,2, …)，则
1 lim P{| N N
N
X
k 1
k
m | } 1
随时间n的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以
越来越大的概率近似于该过程的统计平均。也就是说，只要
b

b
a
f (t ) E[ X (t )]dt
E[
X (t )dt] E[ X (t )]dt
a a
b
2.
E[

b
a
f (t1 ) X (t1 )dt1
b 2
b

a
f (t 2 ) X (t 2 )dt2 ]

b b
a a
f (t1 ) f (t 2 ) R X (t1 ,t 2 )dt1dt2
随机过程
第二章：平稳随机过程
第二章：平稳随机过程
2.1 2.2 2.3 2.4 平稳过程的概念 联合平稳过程及自相关函数的性质 平稳过程随机分析 平稳过程的各态历经性
2.1 平稳过程的概念