第95课时：第十三章 导数——导数的概念及运算
课题：导数的概念及运算 一．复习目标：
理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程． 二．知识要点：
1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ． 2．求导数的步骤是 3．导数的几何意义是 ． 三．课前预习：
1．函数2
2
(21)y x =+的导数是 （ C ）
()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x +
2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可（ A ）
()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f ()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f
3．曲线2
4y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ B ）
()A (1,3)
()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4)
4．若函数2
()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ）
5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为
34
π
，则(2)f '-=1-，[(
2)]f '-=0．
6．曲线2122y x =-
与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4
π． 四．例题分析：
例1．（1）设函数2
()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-；
（2）设函数32
()25f x x x x =-++，若()0f x '=，求x 的值．
（3）设函数()(2)n
f x x a =-，求()f x '．
解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2
()18225f x x x '=++ （2）∵32()25f x x x x =-++，∴2
()341f x x x '=-+
由()0f x '=得：2
03410x x -+=，解得：01x =或013
x =
（3）0(22)(2)()lim n n
x x a x x a f x x
∆→-+∆--'=∆
112
210
lim[(2)24(2)2()]n n n n
n n n n x C x a C x x a C x ---∆→=-⋅+∆-++∆12(2)n n x a -=-
例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离2
12
S gt =
其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1)
lim
t S t S V t
∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是（ C ）
（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s
（B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s
（D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；
若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．
小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →∆t t
S t S ∆-∆+)
1()1(中的△t 可正可负
例3．（1）曲线C ：3
2
y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程；
（2）求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程．
解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴⎩
⎨⎧=+++=439271
d c b a d
∵2
32y ax bx c '=++ /
(0)f c = /
(3)276f a b c =++
∴12762
c a b c =⎧⎨
++=-⎩， 可求出1
1,1,,13d c a b ===-=
∴曲线C ：3
2113
y x x x =-
+++ （2）设切点为3000(,2)P x x x -，则斜率2
00()23k f x x '==-，过切点的切线方程为：
3200002(23)()y x x x x x -+=--，
∵过点(1,1)A ，∴32
000012(23)(1)x x x x -+=--
解得：01x =或01
2
x =-，当01x =时，切点为(1,1)，切线方程为：20x y +-= 当012x =-时，切点为17
(,)28
--，切线方程为：5410x y --=
例4．设函数1
()1,0f x x x
=-
>(1)证明：当0a b <<且()()f a f b =时，1ab >； (2)点00(,)P x y （0<x 0<1）在曲线()y f x =上，求曲线上在点P 处的切线与x 轴，y 轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用0x 表示） 解：（1）∵()()f a f b =，∴11|1||1|a b -
=-，两边平方得：22121211a a b b
+-=+- 即：1
11111
()()2()a b a
b a b -+=-，
∵0a b <<，∴110a b -≠，∴11
2,2a b ab a b
+=+=
2ab a b ⇒=+>∴1ab >
（2）当01x <<时，11
()11f x x x
=-
=-，00201()(01)f x x x '=-<<
曲线()y f x =在点P 处的切线方程为：0020
1
()y y x x x -=-
-， 即：0
200
2x x y x x -=-
+ ∴切线与与x 轴，y 轴正向的交点为2
000
2(2,0),(0,
)x x x x -- ∴所求三角形的面积为2200000021
1()(2)(2)22
x A x x x x x -=
-⋅=-
例5．求函数4
2y x x =+- 图象上的点到直线4y x =-的距离的最小值及相应点的坐标.
解：首先由⎩⎨⎧-=-+=4
24x y x x y 得4
20x += 知，两曲线无交点.
341y x '=+，要与已知直线平行，须3411x +=，0x =
故切点：（0 , －2）. d ==2.
五．课后作业：
1．曲线3
2
31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为
（ ）
()A 34y x =- ()B 32y x =-+ ()C 43y x =-+ ()D 45y x =-
2．已知质点运动的方程为2
4105s t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为（ ）
()A 60 ()B 120 ()C 80 ()D 50
3．设点P 是曲线3
3
5
y x =-+
上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 （ ）
()A 2[0,
]3π ()B 2[0,][,)23πππ ()C 2(,]23ππ ()D 2[,]33
ππ 4．若0()2f x '=，则00()()
lim 2k f x k f x k
→∞--=
5．设函数()f x 的导数为()f x '，且2
()2(1)f x x xf '=+，则(2)f '=
6.已知曲线3:2S y x x =-
（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程；（2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．
7.设曲线S ：3
2
66y x x x =---，S 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为00(,)P x y 求证：曲线S 关于P 点中心对称.
8.已知函数2
2
(),()f x x ax b g x x cx d =++=++. 若(21)4()f x g x +=，且
()()f x g x ''=，(5)30f =，求(4)g ．
9..曲线(1)(2)y x x x =+-上有一点P ，它的坐标均为整数，且过P 点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.
10.已知函数3
2
y x ax bx c ==++的图像过点(1,2)P .过P 点的切线与图象仅P 点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求()f x 的解析式。