变式4、已知f (x) ax2 (a 2)x 1, g(x)=2x且对于任意的x R, f (x) g(x) 恒成立,求a的取值范围
三、分离参数型（转化为求新函数最值）
【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量
的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒 等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可 将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
解：依题意知：
(1)当a 0时，f ( x) 1 0对x R恒成立；
(2)当a
0时，需满足
a
0 a2
4a
0
解得:0 a 4
综上：0 a 4.
变式2、已知f (x) ax2 ax 2,
且对于任意的x R, f (x) 1恒成立
求a的取值范围
解：Q f ( x) ax2 ax 2，对x R都有f ( x) 1恒成立
四、恒成立问题直接转化为函数最值问题
从例 2 可以看出解决恒成立的不等式 问题，还可以考虑如下方法：
直接转化为求原函数的最值
f (x) 0 恒成立 f (x)min 0 ， f (x) 0 恒成立 f (x)max 0
五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
【理论阐释】
若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等 号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。
象的关系再处理。
4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒 成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。
由题意得： f (2) 0
a 1
-2
2
法二：a x 3在x [2,2]上恒成立
设g(x) x 3
g(x) x 3在[2,2]上的最小值为 g(2) 1 a 1
二、二次函数型
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的 解集与二次函数、二次方程的关系
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图
象
△>0
△=0
△<0
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两不等 x1,x2(x1<x2)
不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的解
集
不等式 ax2+bx+c<0(a>0)的解
集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x1<x<x2}
有两相等根 x1=x2=-b/2a
恒成立问题常见类型 及解法
问题引领
已知不等式 x2 2ax 1 0对 x [1,2]
恒成立求正实数 a 的取值范围．
思路1、通过化归最值，直接求函数 f (x) x2 2ax 1
的最小值解决，即 fmin (x) 0
x2 1 1 1
思路 2、通过分离变量，转化到 a
2x
(x ) 2x
若不等式 f x g x 在区间D上恒成立，则等价于
在区间D上函数 y f x 的图象在函数 y g x图象
的上方（若是小于则在下方）
课堂小结
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
题，分类讨论。
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图
ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≥_[f_(x_)_]_m_ax___; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≤__[f_(_x_)]_m_in__。
延伸拓展
若存在a使得ａ≥f(x)的充要条件： ___a___f _( x_)_m_in__; 若存在a使得ａ≤f(x) 充要条件是：___a___f _( x_)_m_ax___。
一、一次函数型
１、f(x)=ax+b,x [α,β]，根据函数的图象（线段）得 ：
f(x)>0恒成立＜ ＞
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立＜ ＞ y
f()<0 f()<0
α
o
βxBiblioteka 典例导悟一若不等式 2 x 1> m x2 1 对一切 m2, 2 都成立，求实数 x 的取值范围。
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m)在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
2
2
例2：已知x 3 a 0在x [2,2]上恒成立，求 a的取值范围。
解：设f (x) x 3 a
即f ( x) 1 0，令g( x) f ( x) 1 ax2 ax 1 0 即g( x)对x R都有g( x) 0恒成立 (1)当a 0时，g( x) 1 0对x R恒成立；
(2)当a
0时，需满足
a
0 a2
4a
0
解得:0 a 4
综上：0 a 4.
变式3、已知f (x) ax2 ax 1, 且对于存在一个x R,使得f (x) 2 成立，求a的取值范围
{x|x≠-b/2a}
没有实根
R
方法一：判别式法
【理论阐释】
若二次函数 y ax2 bx c (a 0, x R) 的函数值大于 0 恒成
立，则有
a 0 0
，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还
可以
利用韦达定理以及二次函数的图象求解。
例1、已知二次函数f (x) ax2 ax 1,
且对于任意的x R, f (x) 0恒成立
求a的取值范围
解：依题意知：
(1)当a 0时，f ( x) 1 0对x R恒成立；
(2)当a
0时，需满足
a
0 a2
4a
0
解得:0 a 4
综上：0 a 4.
变式1、已知二次函数f (x) ax2 ax 1, 且对于任意的x R, f (x) 0恒成立 求a的取值范围
解决，即
x2 1 a ( 2x ) min
思路3、通过数形结合，化归到 x2 1 2ax 作图解决， 即 y x2 1 图像在 y 2ax 的上方
概括方法
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： （1）一次函数型； （2）二次函数型； （3）变量分离型； （4）直接转化为函数的最值求解； （5）根据函数的图象求解； 下面分别举例示之。