恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾１、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >;()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为Ｍ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立 另一转化方法:若A x f D x ≥∈)(,在Ｄ上恰成立，等价于)(x f 在Ｄ上的最小值A x f =)(min ,若,D x ∈B x f ≤)(在Ｄ上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .４、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方;9、若不等式()()f x g x <在区间Ｄ上恒成立,等价于在区间Ｄ上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方;ﻬ二、经典题型解析题型一、简单型例1、已知函数12)(2+-=ax x x f ,xax g =)(，其中0>a ,0≠x . 1）对任意]2,1[∈x ,都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围;(构造新函数） ２）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ,都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）简解：（1)由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ,故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ,所以a 的取值范围是320<<a . 例2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立,求实数b 的范围.分析:思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例,实质还是通过函数求最值解决.方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ;方法2:变量分离,)(10x xab +-≤或x b x a )10(2-+-≤；方法３：变更主元（新函数）,0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法１:对b x xax h ++=)(求导,22))((1)(x a x a x x a x h +-=-='，（单调函数） 由此可知,)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ,得b 的取值范围是47≤b .例3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫⎝⎛=21)(,对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥,则实数m 的取值范围为 答案：41≥m 题型二、更换主元和换元法例1、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数,(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；(Ⅱ）分析:在不等式中出现了两个字母:λ及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。

显然可将λ视作自变量，则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题。

(Ⅱ)略解:由(Ⅰ)知:()f x x =，()sin g x x x λ∴=+,()g x 在[]11-，上单调递减，()cos 0g x x λ'∴=+≤cos x λ∴≤-在[]11-，上恒成立,1λ∴≤-，[]max ()(1)sin1g x g λ=-=--，∴只需2sin11t t λλ--≤++,2(1)sin110t t λ∴++++≥（其中1λ≤-)恒成立,由上述②结论:可令()2(1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-）,则2t 101sin110t t +≤⎧⎨--+++≥⎩，21sin10t t t ≤-⎧∴⎨-+≥⎩,而2sin10t t -+≥恒成立，1t ∴≤-。

例２、已知二次函数1)(2++=x ax x f 对[]2,0∈x 恒有0)(>x f ，求a 的取值范围。

解： 对[]2,0∈x 恒有0)(>x f 即012>++x ax 变形为)1(2+->x ax 当0=x 时对任意的a 都满足0)(>x f 只须考虑0≠x 的情况2)1(xx a +->即211x x a --> 要满足题意只要保证a 比右边的最大值大就行。

现求211x x --在(]2,0∈x 上的最大值。

令211≥∴=t x t 41)21()(22++-=--=t t t t g （21≥t ）43)21()(max -==g t g 所以43->a又1)(2++=x ax x f 是二次函数0≠∴a 所以43->a 且0≠a例3、对于满足0≤ａ≤4的所有实数ａ求使不等式342-+>+a x ax x 都成立的x 的取值范围答案: 1-<x 或3>x题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来)此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题:若对于x 取值范围内的任一个数都有()()f x g a ≥恒成立,则min ()()g a f x ≤；若对于x 取值范围内的任一个数都有()()f x g a ≤恒成立，则max ()()g a f x ≥．例1、当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .解析： 当(1,2)x ∈时,由240x mx ++<得24x m x+<-.∴5m ≤-.例2、已知函数()ln()x f x e a =+（a 为常数）是实数集R 上的奇函数,函数()cos g x x x λ=-在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.（Ⅰ）求a 的值与λ的范围；(Ⅱ)若对（Ⅰ)中的任意实数λ都有()1g x t λ≤-在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,求实数t 的取值范围．(Ⅲ）若0m >,试讨论关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+的根的个数. 解:（Ⅰ）、(Ⅲ）略(Ⅱ）由题意知，函数()cos g x x x λ=-在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.max 1()(),332g x g ππλ∴==-()1g x t λ≤-在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立11,32t πλλ⇔-≥-132t πλ∴≤+(1)λ≤-1,.32t π∴≤- 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)） 例1、若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________ 解析:对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立、则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤。

|ax=yxy例２、不等式)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 内恒成立,求实数a 的取值范围。

解：画出两个凼数ax y =和)4(x x y -=在]3,0[∈x 上的图象 如图33=a知当3=x 时3=y ， 当33≤a ]3,0[∈x 时总有)4(x x ax -≤所以33≤a例4、已知函数36,2(),63,2x x y f x x x +≥-⎧==⎨--<-⎩若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 .解:在同一个平面直角坐标系中分别作出函数2y x m =-及()y f x =的图象，由于不等式()2f x x m ≥-恒成立,所以函数2y x m =-的图象应总在函数()y f x =的图象下方，因此，当2x =-时,40,y m =--≤所以4,m ≥-故m 的取值范围是[)4,.-+∞|ax=yxy题型五、其它(最值）处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立，则等价于在区间D 上()max f x A >; 若在区间Ｄ上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 利用不等式性质1、存在实数x ,使得不等式2313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______。

解：设()31f x x x =++-,由()23f x aa ≤-有解,()2min 3a a f x ⇒-≥，又()()31314x x x x ++-≥+--=,∴234a a -≥,解得41a a ≥≤-或。

2、若关于x 的不等式a x x ≥++-32恒成立，试求ａ的范围解：由题意知只须a 比32++-x x 的最小值相同或比其最小值小即可，得min )32(++-≤x x a由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a 利用分类讨论１、已知函数422)(+-=ax x x f 在区间［-1，2] 上都不小于2,求a 的值。