直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角． (2)范围：直线l 倾斜角的范围是0°≤α<180°. 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式概念方法微思考1．直线都有倾斜角，是不是直线都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2.当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了． 2．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．1．（2018•全国）坐标原点关于直线60x y --=的对称点的坐标为__________． 【答案】(6,6)-【解析】设坐标原点关于直线60x y --=的对称点的坐标为(,)a b ， 则116022ba ab ⎧⨯=-⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得6a =，6b =-，∴坐标原点关于直线60x y --=的对称点的坐标为(6,6)-．故答案为：(6,6)-．1．（2020•河南模拟）已知函数()sin cos (0)f x x a x a =-≠，满足()()3f x f x π-=-+，则直线0ax y c ++=的倾斜角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】函数()sin cos (0)f x x a x a =-≠，满足()()3f x f x π-=-+，∴函数()f x 关于直线6x π=-对称，()sin()cos()666f a πππ∴-=---=，化为2(0a -=，解得a =则直线0ax y c ++=的倾斜角θ满足：tan θ=，[0θ∈，)π． 23πθ∴=． 故选C ．2．（2020•宜昌模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin(2)(2πθ+= ) A ．45B ．45-C ．35D ．35-【答案】C【解析】因为角θ终边落在直线2y x =上， 所以tan 2θ=，可得21cos 5θ=，所以2313sin(2)cos2(2cos 1)(21)255πθθθ+=-=--=-⨯-=． 故选C ．3．（2020•0(y a a -+=为常数）的倾斜角为( ) A ．30︒ B ．60︒C ．150︒D ．120︒【答案】B0y a -+=的倾斜角是α，则直线的方程可化为y a =+，直线的斜率tan k α==，0180α︒<︒，60α∴=︒．故选B ．4．（2020•徐汇区一模）过点(1,0)-，且与直线1153x y ++=-有相同方向向量的直线的方程为( ) A ．3530x y +-= B ．3530x y ++= C ．3510x y +-= D ．5350x y -+=【答案】B 【解析】由1153x y ++=-可得，3580x y ++=，即直线的斜率35-， 由题意可知所求直线的斜率率35k =-，故所求的直线方程为3(1)5y x =--即3530x y ++=．故选B ．5．（2020•普陀区一模）若直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b，则ab 的最大值为( ) A ．76B．4-C．5-D．6-【答案】B【解析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b ， 则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++．22121()(2)()2121bb a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+． 令0b t a =>，21()121t g t t t=+++，(0)t >．22222(2122()(12)(1)(1)(12)t t g t t t t t -+∴'=-=++++，可得2t =时，()g t取得极大值即最大值，(42g =-故选B ．6．（2020•南充模拟）直线3450x y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为( ) A ．4350x y -+= B ．4350x y --= C ．3450x y +-= D ．3450x y ++=【答案】A【解析】在直线l '上任取一点(,)x y ，此点关于直线0x y +=的对称点(,)y x --在直线:3450l x y -+=上， 3()4()50y x ∴---+=，即4350x y -+=，故选A ．7．（2019•西湖区校级模拟）直线20181y x =+在y 轴上的截距为( ) A ．1- B ．1 C ．12018-D ．12018【答案】B【解析】根据题意，直线20181y x =+，其与y 轴的交点为(0,1)，即在y 轴上的截距为1； 故选B ．8．（2019•西城区模拟）直线l 经点(2,2)-，且与直线6y x =+在y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．260x y ++= B ．260x y -+= C ．260x y -+= D ．260x y --=【答案】C【解析】直线6y x =+在y 轴上的截距为6b =， 设直线l 方程为6y kx =+， l 过点(2,2)-， 226k ∴=-+，得24k =， 得2k =，即l 方程为26y x =+， 即260x y -+=， 故选C ．9．（2019•广州二模）已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称，则点A 的坐标为( ) A ．(3,4) B ．(4,5) C ．(4,3)-- D ．(5,4)--【答案】D【解析】设点(,)A x y ．点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称， ∴1230222(1)1,1x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，解得5x =-，4y =-．则点A 的坐标为(5,4)--． 故选D ．10．（2019•黄冈模拟）过点(1,2)A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．y x l -= B ．3y x += C ．2y x =或3x y += D ．2y x =或1y x -=【答案】D【解析】当直线过原点时，可得斜率为20210-=-，故直线方程为2y x =，即20x y -= 当直线不过原点时，设方程为1x y a a+=-， 代入点(1,2)可得121a a-=，解得1a =-， 故方程为10x y -+=，故所求直线方程为：2y x =或1y x =+， 故选D ．11．（2019•黄冈模拟）过点(1,2)A 的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为( ) A ．1y x -=B ．3y x +=C ．20x y -=或3x y +=D ．20x y -=或1x y -+=【答案】C【解析】当直线过原点时，方程为：2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设直线的方程为：x y k +=， 把点(1,2)代入直线的方程可得3k =， 故直线方程是30x y +-=．综上可得所求的直线方程为：20x y -=，或30x y +-=， 故选C ．12．（2020•闵行区校级三模）若直线方程0ax by c ++=的一个法向量为1)-，则此直线的倾斜角为__________． 【答案】3π【解析】直线方程0ax by c ++=的一个法向量为1)-，所以该直线的方向向量为，则直线的斜率为k = 所以倾斜角为3πα=．故答案为：3π． 13．（2020•镇江三模）已知直线1:230l x y -+=，2:20l x ky k ++=，且12//l l ，则直线1l ，2l 间的距离为__________．【解析】1:230l x y -+=，2:20l x ky k ++=，且12//l l ，∴2123k k=≠-， 4k ∴=-，1:230l x y ∴-+=，2:2440l x y --=，即220x y --=；则1l 、2l =．14．（2020•武汉模拟）已知M ，N 为直线34100x y +-=上两点，O 为坐标原点，若3MON π∠=，则MON ∆的周长最小值为__________．【答案】【解析】在MON ∆中，由余弦定理得：222||||||cos 32||||OM ON MN OM ON π+-=，化简得：222||||||||||OM ON OM ON MN =+-， 由基本不等式22||||2||||OM ON OM ON +，当且仅当||||OM ON =时，等号成立． 所以2||||2||||||OM ON OM ON MN -， 所以2||||||MN OM ON ， 故|||||MN OM ON所以||||||3|||OM ON MN OM ++由于3MON π∠=，所以||||||3|||OM ON MN OM ++取“=”号时MON ∆为等边三角形．则正三角形的高为O 为坐标原点(0,0)到直线34100x y +-=的距离2d =．所以当MON ∆为等边三角形时：设2OM x =，所以222(2)2x x =+，解得243x =，故x =所以66MON l x ∆===故答案为：15．（2020•徐汇区二模）已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++=的法向量，则实数a 的值为__________． 【答案】1±【解析】由直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++=的法向量， 可得两直线互相垂直，则(2)(1)(1)(23)0a a a a +-+-+=，解得1a =±． 故答案为：1±．16．（2019•西湖区校级模拟）设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R ++--=∈．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若1a >-，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求OMN ∆面积取最小值时，直线l 的方程．【解析】（1）当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0， 此时20a --=，解得2a =-，此时直线l 的方程为0x y -+=，即0x y -=； 当直线l 不经过坐标原点，即2a ≠-且1a ≠-时， 由直线在两坐标轴上的截距相等，可得221aa a +=++， 解得0a =，此时直线l 的方程为20x y +-=； 所以直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=； （2）由直线方程可得2(1aM a ++，0)，(0,2)N a +， 因为1a >-，所以2121[(1)1](2)2121OMN a a S a a a ∆+++=⨯⨯+=⨯++ 111[(1)2][2(1)2]22121a a a a =+++⨯+=++， 当且仅当111a a +=+，即0a =时等号成立；此时直线l 的方程为20x y +-=．17．（2019•西湖区校级模拟）过(2,1)M 作直线l ，分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A ，B ． （1）当M 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）设O 是坐标原点，当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程． 【解析】（1）设(,0)A a ，(0,)B b ，(,0)a b >，则直线l 的方程为1x ya b+=， M ∴为AB 中点，∴22a =，12b=， 4a ∴=，2b =，则直线l 的方程为：142x y+=，即240x y +-=． （2）设(,0)A a ，(0,)B b ，(,0)a b >， 则直线l 的方程为1x ya b+=， 又(2,1)M 在直线l 上，∴211a b+=， 又21212a b ab=+，8ab ∴，142S ab ∴=，等号当且仅当，即4a =，2b =时成立，∴直线l 的方程为：142x y+=，即240x y +-=． 18．（2019•西湖区校级模拟）在ABC ∆中，已知M 为线段AB 的中点，顶点A ，B 的坐标分别为(4,1)-，(2,5)． （Ⅰ）求线段AB 的垂直平分线方程；（Ⅱ）若顶点C 的坐标为(6,2)，求ABC ∆重心的坐标． 【解析】（Ⅰ）AB 的中点是(3,2)M ，直线AB 的斜率是3-， 线段AB 中垂线的斜率是13，故线段AB 的垂直平分线方程是12(3)3y x -=-，即330x y -+=；（Ⅱ）设ABC ∆的重心为(,)G x y ， 由重心坐标公式可得4264315223x y ++⎧==⎪⎪⎨-++⎪==⎪⎩，故重心坐标是(4,2)G ．。