3．态叠加原理： 设 , , 是体系的可能状态，那么，这些态的 n 线性叠加： c

n
n
n
也是体系的一个可能状态。
若体系处于 cn n态，我们讲体系部分处于
, , n 态。
n
4．波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：
i V ( r , t ) t
14． 对易式满足的基本恒等式：
A , B C A , B A , C A , BC B A , B A , B C AB , C A B , C A , C B
A , B , C B , C , A C , A , B
为
:
c ，得到结果在 n
c 。 d

2
范围内的几率为 d
ˆ f ( x) = l f ( x) F n n n
cn n ( x) ( x)dx
ˆ f ( x) = q f ( x) F l l l
c ( x) ( x)dx
力学量的平均值是:
Q un x Qn un x
an t un x
a t a t , an t
* * a* ( t ) , a ( t ) , , a n (t )
Summary of Quantum Mechanics
第一章 绪论（小结）
1、经典物理的困难
黑体辐射，光电效应，原子光谱线系
2、旧量子论
<1>普朗克能量子论 <2>爱因斯坦对光电效应的解释；光的波粒二象性； 光电效应的规律；
1 2 vm h W0 2
光子能量动量关系：
E = hn = w P= h
* F u 算符F对应一个矩阵（方阵），矩阵元是: nm n Fum dx
选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。
平均值公式是： F F
归一化条件是： 本征值方程是：
I
F
2．在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换
1 满足 S S ；态的变换是 ； b S a 算符的变换是 F S FS 。幺正变换不改变算符的本征值。
n 的线性无关的本 n 是f度
的第 n ˆ 个本征值 F
6． 动量算符的本征函数(即自由粒子波函数)
( ) p
e
i pr
正交归一性
(r ) p (r )d ( p p)
* p
7． 角动量
z 分量
L z i

*
满足连续性方程：
j t
8．一维无限深方势阱
本征值
0 , V ( x) ,
0 xa x 0或 x a
n En , n , , , a
n x sin , n a a , xa x或 xa
本征函数
若
0 , V ( x) ,
x a x a
则本征值
n En a
1 n sin ( x a ) , n 1,2,3,... x a 2a 本征函数 n a 0, x a
9．三维无限深方势阱
0 , V ,
Ennn
0 x a,0 y b , 0 z c 其余
n n n , n、n、n , , , a b c
可以用分离变量法求解得到 本征值
n x n x n x sin sin sin , a b c 本征函数 nnn ( r ) abc ,
5．波函数的归一化条件：
（全）

2
d 1
相对几率分布： ( r ) ~ c ( r )
波函数存在常数因子不定性；相位因子不定性。
6．波函数标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：
连续性，有限性，单值性。
i j * *
7．几率流密度
与几率密度

L , L iL
x y
z
,
s , s is
x y
z
,
J , J iJ
x y
z
L , L 0 , s , s 0 , J
2

2

2
, J 0

16．若算符 A、B
对易，即 [ A , B ] 0 ，则
和A
有共同的本征函数系。在 B 或左矢 A 表示
狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力学 理论，而且运算简洁。
基矢的封闭性： n
n
n I,
dx x
x I,
坐标表象
( 1 ) F ( x , t ) ( x , t ) ( 2 ) i ( x , t ) H ( x , t ) t ( 3 ) H un ( x ) E n un ( x )
称
F 为守恒量。
力学量 F 的平均值随时间的变化满足
dF F [F , H ] dt i t
因而力学量 F为守恒量的条件为：
F 0 且 [F , H ] t
12．宇称算符
宇称算符的定义：
ˆ P (r ) (r )
13． 对易式定义：
A , B AB BA
cn n F F
( 7 ) F * ( x )F ( x ) dx ( 8 ) * ( x ) ( x ) dx 1
1
4．粒子占有数表象
以线性谐振子的粒子数算符N或者哈密顿Ｈ的本征态 n 为 基矢的表象。
湮灭算符：
i 2 ˆ ˆ) a p (x 2
（Jacobi恒等式）
15． 一些重要的对易关系：
x , x 0 , p , p 0 , x , p i


x x L , p i p L L
e
e E En , n , , , a n n e Z a 2 e 2 (玻尔半径） 类氢离子 E n n
11． 守恒力学量的定义：
若
dF （即力学量的平均值不随时间变化），则 dt
V ( r ) 当势场 不显含
t ，其解是定态解： 时

i Ent n ( r , t ) n ( r )e
, n ( r )
满足定态薛定谔方程 ： H n 其中
En n
2 2 H V ( r ,t ) 2
定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。
选 H , L , Lz 为体系的守恒量完全集，其共同的本征
函数为
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
n 1, 2, 3, l 0,1, 2,, n 1 m 0, 1, 2,,l
10．氢原子
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
第三章 量子力学中的力学量（小结）
1. 量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且 要求该算符的本征函数构成完备系。
2. 厄米算符A的定义：
* Adr ( A ) dr
*
厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的 本征函数一定正交。 力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备等条件。
和 A 的共同的本征函数 B
，都有确定值。 A、B ，则必有 [ A, B ]0
若算符 A、B 不对易，即
2 2
简记为
1 (A) (B) [ A , B ] 2
1 特别地，A B [ A , B ] 2
xp x 2
第四章 态和力学量的表象（小结）
Q 表象是以Q 的本征函数系 u n x 为基底的表 1． 象，在这个表象中，有
阱内 阱外
10．一维谐振子
V x
本征值 E n n ， n , , ,
本征函数
n ( x) Nne
Nn
1 2 x2 2
H n ( x)


n!
n
,
11、势垒贯穿
隧道效应： 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯 穿势垒的现象，称为隧道效应。
e im , m , , ,
本征函数 m ( )
Lz 的本征值
m Lz
lm
8．
L , L 有共同的本征函数—球谐函数：Y ,
z
m
Ylm , () m N lm Pl N lm
(cos ) e im m , , , , l
i 2 ˆ ˆ) a p (x 2
1
1
产生算符：
1 1 H a a N 2 2
——>相对论量子力学——>量子场论
第二章 波函数和薛定谔方程（小结）
1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。 2．波函数统计解释： 2 * r , t d 表示在 d t时刻，空 若粒子的状态用 描写， 间 处 体积元内找到粒子的几率（设 是归一化的）。 r d
l
n= k
<3>玻尔的原子理论 量子化条件 ：
pdq nh
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