∑
m'
l ' m ' n lm
2
=1
这个结果也可以利用Ylm的正交归一完备性导出:
∑
l ',m '
l ' m ' n lm
2
=
∑
l ',m '
lm n l ' m '
l ' m ' n lm
= lm n n lm = lm lm = 1
2
( a )电子由(nlm) → ( n ' l ' m '), En > En ' 电子由高能级跃迁到低能级(放出光子), 这时作用能中e 项对跃迁产生主要贡献,跃迁 矩阵元 n ' l ' m ' x − iy nlm .根据题9中球谐函数 的递推关系,易得选择定则为: ∆ l = l '− l = ±1 ∆ m = m '− m = −1
2
(l m m)(l m m −1) 2 ± Yl −1,m±1 (2l −1)(2l +1)
1
1
而 x = rsin θ c o s ϕ = rs in θ (
e iϕ + e − iϕ ) 2 iϕ − iϕ e −e y= rsin θ s in ϕ = rs in θ ( ) 2i z = rco s θ 1 s in θ e ± iϕ = ( x ± iy ) = n x ± in y r z co s θ = = n z r n = r = n xe1 + n y e 2 + n z e 3 r 1 = ( n x + in y )( e 1 − i e 2 ) 2 1 + ( n x − in y )( e 1 + i e 2 ) + n z e 3 2
(l m m)(l m m −1) 2(2l −1)(2l +1) 2 l l −1, m' n lm = ∑ 2l +1 m' 所以跃迁到终态m' = m +1, m, m −1 的分支比: l −1, m ±1 n lm =
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(l − m)(l + m1): 2(l + m)(l − m):(l − m + 2)(l − m +1)
iωt
(b)电子由(nlm) → (n ' l ' m '), En < En ' 电子由低能级跃迁到高能级(吸收光子), 这时作用能中e−iωt 项对跃迁产生主要贡献,跃迁 矩阵元 n ' l ' m ' x + iy nlm .根据题9中球谐函数 的递推关系,易得选择定则为: ∆ l = l '− l = ±1 ∆ m = m '− m = +1
以上结果可以用角动量守恒定律解释: 光子自旋分量为h、0、-h.沿z方向传播的右旋 偏振光其光子自旋的z分量为h,当电子吸收一个 光子后, 其角动量的z分量增加h, 故有m '− m = 1. 反之, 在受激辐射中,电子放出一个右旋偏振光子 后, 其角动量的z分量减少h, 故有m '− m = −1. 量子数l的选择定则∆l = ±1也可以用电子 − 光子角动量耦合的矢量模型(三角形法则)结合 宇称考虑而得到解释.
3
易见n的矩阵元中不等于0的为: l ±1, m nz lm , l ±1, m +1 nx + iny lm l ± 1, m −1 nx − iny lm (a)终态 l ' = l + 1 m' = m l +1, m n lm m ' = m ±1 l +1, m ± 1 n lm
2 2
=
(l + m +1)(l − m + 1) (2l + 3)(2l + 1) = (l ± m + 2)(l ± m + 1) 2(2l + 3)(2l + 1)
选择定则
• 不考虑自旋（nlm）： ∆l
电偶极近似
= ±1 ∆m = 0, ±1
ε = ε 0 cos ωt
（光波电场是均匀场， 光波波长远大于原子线度）
• 考虑自旋( nljmj )：
∆j = 0, ±1
∆l = ±1
∆m j = 0, ±1
9.不考虑自旋，原子中的电子状态可以表示为
ψ
n lm
= R n l ( r ) Y lm (θ , ϕ )
(b)终态 l ' = l −1 m' = m
l +1 l +1, m' n lm = ∑ 2 l +1 m' 所以跃迁到终态m' = m +1, m, m −1 的分支比:
2
l −1, m n lm = m' = m ±1
2
(l + m)(l − m) (2l −1)(2l +1)
(l − m + 2)(l + m +1): 2(l + m +1)(l − m +1): (l − m + 2)(l − m +1) 特别地, 若初态l = m = 0, 终态l ' = 1, 则m' =1,0, −1 的分支比为2: 2: 2, 可得到8题结果.
我们可以得出终态l ' = l +1, l −1分支比为 (l +1): l 注 : 该分支比与初态磁量子数无关.跃迁到 l ' = l +1或l −1态的概率(对m ' 求和)也与m无关. 由选择定则知∆ l = l '− l = ±1, 于是有
11.用沿正z方向传播的右旋圆偏振光照射原 子,造成原子中电子的受激跃迁,求选择定则. 解: 对于右旋偏振光(振幅为2ε0 )有 ε = 2ε0 (cos ωte1 − sin ωte2 ) =(e1 -ie2 )ε0eiωt + (e1 +ie2 )ε0e−iωt r = xe1 + ye2 + ze3 因此光波对原子的作用能为: H ' = er ε(t) =(x-iy)ε0eiωt + (x+iy)ε 0e−iωt
利用Ylm的递推公式: (l + m +1)(l − m +1) 2 cosθYlm (θ,ϕ) = Yl+1,m (2l + 3)(2l +1) (l + m)(l − m) 2 + Yl−1,m (2l −1)(2l +1) (l ± m + 2)(l ± m +1) 2 sinθe Ylm (θ,ϕ) = m Yl+1,m±1 (2l + 3)(2l +1)
光的辐射和吸收
高能级
量子力学 选择定则 理论 本质 解释
原子物理学 光谱 实验观察 现象
• •
自发辐射
Amk =
3 4ωmk es2 rmk 3hc 3 2
光的吸收
受激辐射 低能级 感应跃迁 4π 2 es2 B mk = rmk 3h 2
2
电偶极跃迁的选择定则
F磁 ev × B = F电 eE v c 1 100
±iϕ 1 1 1
设能级只取决于主量子数n．设初态为（nlm）,终态 为（n'l'm'）,n、n'、l、m均已给定。 （a）求跃迁到l'相同，m'不同的各个终态的分支比； （b）求l'不同的各个终态（对m'求和）的分支比。 解:单位时间原子从能态m跃迁到能态n的 概率:
ω mn =
4π 2 es2 ρ (ω mn ) rmk 3h 2