（2）根据 ∇ 算符的矢量性质及公式 a × (b × c ) = ( a ⋅ c )b − ( a ⋅ b ) c ，有 故不用算符的微分性质即可证明。 1.1.2 证明以下几个常用等式，其中 r = ( x − x′)ex +( y − y′)e y + ( z − z ′)ez , a 为常数，
2 （1） ∇ × (ϕ A) = ∇ϕ × A + ϕ∇ × A ， （2） ∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ ⋅ A) − ∇ A
r
r
r
r
r
r
r r r r r ∇× (ϕ A) = ∇ϕ × (ϕ A) + ∇ A × (ϕ A) = ϕ ∇ϕ × A + ∇A × (ϕ A) r 其中 ∇ϕ 或 ∇ A 分别表示只对 ϕ 或 A 作用。由于 ∇ A 对标量函数只能取梯度，故 r r ∇ A × (ϕ A) = (∇ Aϕ ) × A
r r r ex ey ez ∂ ∂ ∂ r =0 （2） ∇×r = ∂x ∂y ∂z x − x′ y − y′ z − z′
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r r r ∂r r ∂r r ∂r r x − x′ r y − y ′ r z − z ′ ∇′r = ex + ey + ez = −ex − ey − ez = − = −∇r ∂x′ ∂y ′ ∂z′ r = −∇ = 0 ( r ≠ 0) r3 r3 r r r r r r r r r r （7） ∇(a ⋅ r ) = a × (∇ × r ) + (a ⋅ ∇)r + r × (∇ × a ) + (r ⋅ ∇)a r r r r r ∂r ∂r ∂r r = 0 + (a ⋅∇)r + 0 + 0 = ax + ay + az =a ∂x ∂y ∂z
v r ∂r r ∂r r ∂r r x − x′ r y − y′ r z − z′ r + ey + ez = ex + ey +e z = （3） ∇r = ex r r ∂x ∂y ∂z r r
（4 ）∇
r 1 ∂(1/ r ) 1 r = ∇r = − 2 ∇r = − 3 r ∂r r r r r v −3r r 1 r 1 r 1 3 r （5） ∇ × 3 = 3 ∇ × r + ∇ ( 3 ) × r = 3 × 0 − 4 ∇r × r = 5 × r = 0 r r r r r r r r r r r 1 r ∇ ⋅ r −3 r ∇ ⋅ r −3 r r 1 （6） ∇ ⋅ 3 = ∇ 3 ⋅ r + 3 = 4 ∇r ⋅ r + 3 = 4 ( ⋅ r ) + 3 × 3 = 0 r r r r r r r r r r r r 1 r ∇′ ⋅ r −3 − r r 1 ∇′ ⋅ 3 = (∇′ 3 ) ⋅ r + 3 = 4 ( ⋅ r ) + 3 × (−3) = 0 ， r r r r r r ∇⋅
r ey ∂ ∂y Ay r ez ∂ ∂z Az
r e x r （8） ∇ × A(u ) = ∂ ∂x A x
=( =(
∂A ∂A r ∂Az ∂Ay r ∂A ∂A r )ex + ( x − z )ey + ( y − x )ez − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y dA ∂u dAx ∂u r dAz ∂u dAy ∂u r dA ∂u dAz ∂u r − )ex + ( x − )e y + ( y − )ez du ∂y du ∂z du ∂z du ∂x du ∂x du ∂y
u v dA = ∇u × du
1.1.3 从真空麦克斯韦方程出发， （1 ）导出电荷守恒定律的微分形式； （2 ）导出真空中 的波动方程。 证 （1 ）已知麦克斯韦方程
r r r ∂E ∇ × B = µ0 J + ε 0 µ0 ∂t r ∇ ⋅ E = ρ / ε0
① ②
对①式两边取散度并利用②式得
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电动力学习题与参考解答
第1 章 电动力学的数学基础与基本理论
1.1 A 类练习题 1.1.1 利用 ∇ 算符的双重性质，证明
因此
证
（1）根据 ∇ 算符的微分性质有
r r r ∇× (ϕ A) = ϕ ∇ϕ × A + (∇Aϕ ) × A
r
去掉算符的角标，即可得到要证明的等式。
r r r r r r r r r r r ∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ ⋅ A) − (∇ ⋅∇ ) A r r r 注意：第一，∇ (∇ ⋅ A) 不能写成 (∇ ⋅ A)∇ ，否则将失去意义；第二，这里仅有一个函数 A ，
r
r
r
r
r
u = u ( x, y, z ) 。 v r 1 r r r r r （1） ∇⋅ r = −∇′ ⋅ r = 3 ， （2） ∇×r = 0 ， （3） ∇r = −∇′r = ， （4） ∇ = − 3 ， r r r r r r r r dA r r r r r ∇× 3 = 0 ， ∇⋅ 3 =−∇′ ⋅ 3 = 0 (r ≠ 0) ， ∇× A(u) = ∇u × 。 ∇(a ⋅ r ) ， （5） （6） （7） （8） r r r du r ∂( x − x′) ∂( y − y′) ∂( z − z) + + =3 证 （1） ∇⋅ r = ∂x ∂y ∂z r ∂( x − x′) ∂( y − y′) ∂( z − z ) ∇′ ⋅ r = + + = −3 ∂x′ ∂y′ ∂z′ r r 所以 ∇⋅ r = −∇′ ⋅ r = 3 。
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