–输出信号的能量不会大于输入信号的能量
• 无损有界实传输函数(LBR)
全通传输函数
• 定义：传输函数的幅度响应对任何频率都是1
A(e j ) 2 1
• M阶因果实系数全通传输函数的一般形式：
AM
(z)
dM dM 1z1 1 d1z1 dM
Hale Waihona Puke d1zM 1 1z M 1 dM
zM zM
即：
第七章 LTI离散时间系统在变换 域中的分析
概述
• 数字传输函数从其时域序列可分为:
–有限冲激响应 –无限冲激响应
• 其他分类方法：
–传输函数的幅度响应 –传输函数的相位响应
• 简单的实用FIR和IIR数字滤波器 • 数字二端口网络
7.1 基于幅度特征的传输函数分类
• 具有理想幅度响应的数字滤波器 • 有界实传输函数 • 全通传输函数
–零点存在于单位圆内和单位圆外的因果稳定传输函数 –如P291 式7.25b、式7.25c
• 混合相位、最小相位和最大相位传输函数之间的 关系：P294 例7.4
线性相位FIR传输函数的类型
• 通常可以恰好设计带有线性相位的FIR传输函数， 而几乎不可能设计线性相位的IIR传输函数：
y[n] x[n n0 ]
截止频率：ωcω1ω2
滤波器的实现问题
• 理想滤波器的不可实现性
–双边无限长 –非因果 –不绝对可和
• 利用专门方法设计滤波器
–允许过渡地带 –允许通带和阻带上有一定的波动 –以几种简单的低阶FIR和IIR滤波器级联
形成各种功能的滤波器
有界实传输函数(BR)
• 定义： |H(ejω)|≤1
• P285 例7.1 BR函数的构造 • 被动结构：
B(z) bl zl z l
l0
零相位传输函数
• 实现：不可能设计出一个零相位的因果数字 滤波器
• 变通方法：在因果要求宽松的情况下
对零相位滤波方案的验证
• 不同信号之间FT的关系为：
• 可得输入输出关系为：
数字滤波器的设计
• 一般根据给定的滤波器的规格，先得到平方幅度 函数|H(ejω)|2,推导出零相位函数H(z)H(z-1): H (z)H (z 1) H (e j ) 2 |1 ln z
AM
z
z
M DM (z 1)
DM z
• 若z=rejφ是实系数全通传输函数的一个极点， 则它有一个零点在1/r*e-jφ
M阶因果实系数全通传输函数
• 全通传输函数的分子可以称为分母的镜像 多项式，反之亦然。
AM
M
i 1
*i z1 1 i z1
• 由于因果稳定传输函数的极点必须在单位 圆内，因此因果稳定全通传输函数的所有 零点必须在单位圆外，并且和与之对应的 极点成镜像对称。
• 若： y[n] x[n D]
• 可得输入输出关系为：
Y[e j ] e jD X [e j ]
• 传输函数为：
H[e j ]
Y[e j ] X [e j ]
e jD
幅度响应： H (e j ) 1
群延迟：
D
不失真传输
• 若需要在某个频率分量上使幅度和相位不失真的 通过，则传输函数在感兴趣频带内具有：
• 对称关系见图7.3
全通传输函数的特性
1. 因果稳定实系数全通传输函数是无损有界实 （LBR）传输函数，即因果稳定全通滤波器 是一个无损结构。
2. 稳定全通函数AM的幅度：
1,
| AM (z) | 1,
1,
z 1 z 1 z 1
3. 随着ω从0变化到π，M阶全通函数的相 位变化是Mπ。
简单应用
• 幅度函数和相位响应
–幅度函数完全相同 –相位响应：H2比H1相比有滞后 图7.13
最小相位和最大相位传输函数
• 最小相位传输函数：
–所有零点都在单位圆内的因果稳定传输函数 –如P291 式7.25a
• 最大相位传输函数：
–所有零点都在单位圆外的因果稳定传输函数 –如P291 式7.25d
• 混合相位传输函数
–单位幅度响应 –线性相位响应
• P292 图7.10 线性相位响应的理想低通滤波器 • P292 例7.3
最小相位和最大相位传输函数
• 传输函数另一种很有用的分类：
–基于其零点的位置即其对相位响应的影响进行
• 考虑两个传输函数：P7.32a和P7.32b • 零点和极点：图7.12
–相同极点：都在单位圆内，故是代表稳定系统。 –不同零点：H1在单位圆内，H2在单位圆外
具有理想幅度响应的数字滤波器
• 设计数字滤波器，为了无失真的传输某些 频率上的信号：
–让滤波器的频响在这些频率上为1——通带 –让滤波器的频响在其他频率上为0——阻带
• 四类常见的具有实冲激响应函数的理想数 字滤波器的频响：P284 图7.1
–低通滤波器：通带、阻带 –高通滤波器：通带、阻带 –带通滤波器：通带、阻带 –带阻滤波器：通带、阻带
• 群延时：各频率经LTI系统处理后具有不同的
相位延时
g
d
d
• 延时均衡器 P289
–G(z)是满足所要求幅度响应的数字滤波器的传输函数
–其相位响应是非线性的，即不均衡的
–通过级联一个全通滤波器来校正，如图7.7
–级联后，在幅度响应不变的同时，整体的群延时在感 兴趣频域上近似为常数，结果如图7.8
j
• 分配极点和零点以得到H(z):
–取一半的极点和零点，剩下的一半是镜像对称 –为使系统稳定，极点必须在单位圆内 –对于零点的分配一般没有限制
• P291 例7.2 由特定的平方-幅度函数确定传输函数
线性相位传输函数
• 对于一个具有非零相位响应的因果传输函数， 相位失真可以通过允许输出是输入的一个延时 信号来加以避免
x[n n0 ] z变换zn0 X(z)
• 根据滤波器长度为奇或为偶，冲激响应是正对称或 反对称，可以有四种线性相位FIR滤波器
简单数字滤波器
• 满足频率选择要求的滤波器主要在第 九章和第十章讨论
• 本节讨论低阶系统：
–低通FIR数字滤波器 –高通FIR数字滤波器 –低通IIR数字滤波器 –高通IIR数字滤波器
基于相位的传输函数分类
• 零相位传输函数 • 线性相位传输函数 • 最小相位与最大相位传输函数
零相位传输函数
• 在许多应用中，需要保证所设计的数字滤波器在 通带内不会使输入信号的相位发生失真
• 方法：
–使该滤波器的频率响应是实数且非负 –传输函数的分子分母多项式满足零相位多项式B(z)：
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