3
3
3
故选： D .
【点睛】
本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
设底面 ABCD 的边长为 a ，四棱锥的高为 h ，可得 a2 12h 2h2 ，得出四棱锥的体积关
于 h 的函数V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值.
【详解】
①若三条棱两垂直则用 4R2 a2 b2 c2 （ a, b, c 为三棱的长）； ②若 SA 面 ABC （ SA a ），则 4R2 4r2 a2 （ r 为 ABC 外接圆半径）
③可以转化为长方体的外接球；
④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
19．如图，已知圆锥的高是底面半径的 2 倍，侧面积为 ，若正方形 ABCD 内接于底面圆 O ，则四棱锥 P ABCD 侧面积为__________．
20．已知球的表面积为 20π ，球面上有 A 、 B 、 C 三点．如果 AB AC 2 ， BC 2 2 ，则球心到平面 ABC 的距离为__________． 三、解答题
B 两点，则弦长 AB 的取值范围是（ ）
A． 4,10
B． 3, 5
C． 8,10
D． 6,10
二、填空题
13．如图，在圆柱 O1 O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱 O1
O2
的体积为 V1
,球 O 的体积为 V2
，则 V1 V2
的值是_____
14．三棱锥 P ABC 中， PA PB 5 ， AC BC 2 ， AC BC ， PC 3 ，则
21．如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直， M 是 CD 上异于 C ， D 的
点．
（1）证明：平面 AMD 平面 BMC ；
（2）在线段 AM 上是否存在点 P ，使得 MC∥平面 PBD ？说明理由．
22．如图，正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD ， AE⊥平面 CDE ，且 AE 1, AB 2 . (Ⅰ)求证： AB 平面 ADE ；
正四棱锥 P ABCD 的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为 3， 设底面 ABCD 的边长为 a ，四棱锥的高为 h ，设正四棱锥的底面 ABCD 的中心为O1 .
则 OA 2a , PO1 平面 ABCD. 2
2
则
OO12
O1 A2
OA2
,即
2 2
a
h 32 32 ，可得 a2 12h 2h2 .
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、
锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.
【详解】
由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.
所以该陀螺模型的体积V 1 42 2 32 3 1 32 2 32 33 .
状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已
知网格纸中小正方形的边长为 1，则该陀螺模型的体积为（ ）
A． 107 3
B． 32 45 3
C． 16 32 3
D． 32 33 3
3．已知正四棱锥 P ABCD 的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为 3，则该四棱锥的
则该四棱锥的体积为V 1 a2h 1 12h 2h2 h
3
3
令 f h 12h 2h2 h ，则 f h 24h 6h2
当 0 h 4时， f h 0 ， f h 单调递增.
当 h 4 时， f h 0 ， f h 单调递减.
所以当 h 4 时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为： 1 12 4 2 42 4 64 .
A．10cm3
B． 20cm3
C． 30cm3
D． 40cm3
10．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 A1D1 a, A1B1 2a ，点 P 在线段 AD1 上运
动，当异面直线 CP 与 BA1 所成的角最大时，则三棱锥 C PA1D1 的体积为（ ）
A． a3 4
B． a3 3
所以三棱锥 D ABC 的体积的最大值为 1 1 4 4 2 6 4 2 32 2 16 6 .
32
3
故选：D.
【点睛】
几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解
的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确
定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．
17．圆台的两个底面面积之比为 4：9，母线与底面的夹角是 60°，轴截面的面积为
180 3 ，则圆台的侧面积为_____．
18．如图，AB 是底面圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A、B 的点，PO 垂直于圆 O 所在的平
面，且 PO OB 1, BC 2 ，点 E 在线段 PB 上，则 CE OE 的最小值为________.
正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．②④
C．③④
D．①③
7．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）
A． 2 2
B． 4 2
C．4
D．8
8．已圆
截直线
所得线段的长度是 ，则圆 与
圆
的位置关系是（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
9．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
【易错题】高一数学下期中一模试卷含答案(2)
一、选择题
1．已知三棱锥 D ABC 的外接球的表面积为128 ， AB BC 4, AC 4 2 ，则三棱
锥 D ABC 体积的最大值为（ ）
A． 27 32
B． 10 8 6 3
C． 16 6 3
D． 32 2 16 6 3
2．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形
B．若 a / /b,b ,则 a / /
C．若 / /, a, b, 则 a / /b
D．若 a ,b , a //,b // ,则 / /
6．设 表示平面， a ， b 表示直线，给出下列四个命题：① a ， a b b ；
② ab ， a b ；③ a ， a b b ；④ a ， b ab ，其中
角的正弦值.
24．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 A(0,3) ，直线 l : y 2x 4 ，设圆 C 的半径为 1， 圆心在 l 上.
（1）若圆心 C 也在直线 y x 1上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线方程； （2）若圆 C 上存在点 M ，使 MA 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 25．已知圆 C : x2 y2 2x 4 y 1 0 ， O 为坐标原点，动点 P 在圆外，过点 P 作圆 C 的切线，设切点为 M .
PA BC ， PA AB, AB BC ，
所以三棱锥的外接球，就是以 AP, AB, BC 为长宽高的长方体的外接球，
外接球的直径等于长方体的对角线，
即 2R 4 11 6 ，所以外接球的表面积为：
4 R2 6 ，故选 A.
点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积， 关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：
C． a3 2
D． a3 a3
11．已知 AB 是圆 x2 y2 6x 2 y 0 内过点 E(2,1) 的最短弦，则| AB | 等于（ ）
A． 3
B． 2 2
C． 2 3
D． 2 5
12．已知直线 l : 2k 1 x k 1 y 1 0k R与圆 x 12 y 22 25 交于 A ，
该三棱锥的外接球面积为________.
15．已知圆 O ： x2 y2 4 , 则圆 O 在点 A(1, 3) 处的切线的方程是___________.
16．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D， 满足 PD=DA，PB=BA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 .
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
【分析】
先求出球心 O 到底面距离的最大值，从而可求顶点 D 到底面的距离的最大值，利用该最大
值可求体积的最大值. 【详解】
设外接球的球心为 O ，半径为 R ，则 4 R2 128 ，故 R 4 2 . 设球心 O 在底面上的投影为 E ，因为 OA OC OB ，故 E 为 ABC 的外心. 因为 AB BC 4 ， AC 4 2 ，所以 AC2 AB2 BC2 ，故 ABC 为直角三角形， 故 E 为 AC 的中点，所以 OE OA2 AE2 2 6 ， 设 D 到底面 ABC 的距离为 h ，则 h OE R 2 6 4 2 ，
8．B
解析：B 【解析】
化简圆
到直线
的距离
，
又
两圆相交. 选 B
体积的最大值为（ ）
A． 64 3
B．32
C．54
D．64
4．三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，PA=2，AB=BC=1，则其外接球的表面积
为（ ）
A． 6
B． 5
C． 4
D． 3
5．对于平面 、 、 和直线 a 、 b 、 m 、 n ,下列命题中真命题是( )
A．若 a m, a n, m , n , ,则 a
（1）若点 P 运动到 1，3 处，求此时切线 l 的方程；