第5章 极限定理1、ξ为非负随机变量，若(0)a Eea ξ<∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。

2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >，1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。

4、{}k ξ各以12概率取值s k 和sk -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）1{2}2kk P X =±=； （2）(21)2{2}2,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）11221{2},{0}12kk k P X k P X k --=±===-。

7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，证明这时对{}k ξ大数定律成立。

8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明对{}k ξ成立大数定律。

9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ=++L ，11()n n a E E nξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞⎧⎫-=⎨⎬+-⎩⎭。

10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而0mn→时，2221~2n mn n n m -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭。

12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。

13、求证，在x o >时有不等式222111222211t x x x x e e dt e x x-∞--≤≤+⎰。

14、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，01p <<，则不管k 是如何大的常数，总有{||}0()n P np k n μ-<→→∞。

15之间的概率不小于90%。

并用正态逼近计算同一问题。

16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛——拉普拉斯定理估计下面概率：n P p n με⎧⎫-≥⎨⎬⎩⎭并进行比较。

这里n μ是n 次贝努里试验中成功总次数，p 为每次成功的概率。

17、现有一大批种子，其中良种占16，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与16之差小于1%的概率是多少？ 18、种子中良种占16，我们有99%的把握断定，在6000粒种子中良种所占的比例与16之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？19、蒲丰试验中掷铜币4040次，出正面2048次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。

20、设分布函数列{()}n F x 弱收敛于连续的分布函数()F x ，试证这收敛对1x R ∈是一致的。

22、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。

24、若n X 的概率分布为0111n n n ⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎝⎭，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。

25、随机变量序列{}n ξ具有分布函数{()}n F x ，且()()n F x F x →，又{}n η依概率收敛于常数0c >。

试证：（I ）n n n ζξη=+的分布函数收敛于()F x c -；（II ）nn nξζη=的分布函数收敛于()F cx 。

26、试证：（1）0P Pn n X X X X −−→⇒-−−→； （2）,{}1PPn n X X X Y P X Y −−→−−→⇒==； （3）0(,)P Pn n m X X X X n m −−→⇒-−−→→∞； （4）,PPPn n n n X X X Y X Y X Y −−→−−→⇒±−−→±； （5）,P n X X k −−→是常数Pn kX kX −−→； （6）22PPn n X X X X −−→⇒−−→；（7）,,,PPn n X a Y b a b −−→−−→常数Pn n X Y ab −−→； （8）111PPn n X X -−−→⇒−−→； （9）,,,P Pn n X a Y b a b −−→−−→常数110Pn n b X Y ab --≠⇒−−→；（10）,Pn X X Y −−→是随机变量Pn X Y XY ⇒−−→； （11）,PPPn n n n X X Y Y X Y XY −−→−−→⇒−−→。

27、设Pn X X −−→。

而g 是1R 上的连续函数，试证()()Pn g X X −−→。

28、若{}n X 是单调下降的正随机变量序列，且0Pn X −−→，证明0a s n X ⋅⋅−−→。

29、若12,,X X L 是独立随机变量序列，μ是整值随机变量，{}k P k p μ==，且与{}i X 独立，求1X X μη=++L 的特征函数。

30、若()f t 是非负定函数，试证（1）(0)f 是实的，且(0)0f ≥；（2）()()f t f t -=；（3）|()|(0)f t f ≤。

31、用特征函数法直接证明德莫佛——拉普拉斯积分极限定理。

33、若母体ξ的数学期望2,E m D ξξσ==，抽容量为n 的子样求其平均值ξ，为使{||0.1}95%P m ξσ-<≥，问n 应取多大值？34、若{,1,2,}n n ξ=L 为相互独立随机变量序列，具有相同分布11{1},{0}22n n P P ξξ-=-=，而12nkn k kξη==∑，试证n η的分布收敛于[0,1]上的均匀分布。

35、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。

36、用特征函数法证明，普阿松分布当λ→∞时，渐近正态分布。

计算n Y 的特征函数，并求n →∞时的极限。

38、设n X 独立同分布，2{2}2k kn P X --== (1,2,)k =L ，则大数定律成立。

39、若{}i X 是相互独立的随机变量序列，均服从(0,1)N ，试证1n nW =及n U =渐近正态分布(0,1)N 。

40、设12,,X X L 是独立随机变量序列，均服从[0,1]均匀分布，令11nnn i i Z X =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，试证Pn Z c →，这里c 是常数，并求c 。

41、若{}i X 是独立同分布随机变量序列，i EX m =，若()f x 是一个有界的连续函数，试证1lim ()n n X X E f f m n →∞⎡++⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦L 。

42、若{}i X 是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证12(1)nPi i i iX EX n n =−−→+∑。

44、设()f x 是[0,1]上连续函数，利用概率论方法证明：必存在多项式序列{()}n B x ，在[0,1]上一致收敛于()f x 。

45、设{}i X 是独立随机变量序列，试证0a s n X ⋅⋅−−→的充要条件为，对任意0ε>有1{||}nn P Xε∞=≥<∞∑。

46、试证独立同分布随机变量序列，若存在有限的四阶中心矩，则强大数定律成立。

48、举例说明波雷尔——康特拉引理（i ）之逆不成立。

49、设是相互独立且具有方差的随机变量序列，若21k n DX k ∞=<∞∑，则必有21lim 0k n DX n →∞=。

53、若{}k ξ是独立随机变量序列，方差有限，记n 11(),nn k k n k S E S nξξη==-=∑。

（1）利用柯尔莫哥洛夫不等式证明{}1n 22221max (2)m m mm jm n j p PD ηεξε+>≥<=≥≤∑（2）对上述m p ，证明若21kk D kξ∞=<∞∑，则1m m p ∞=∑收敛；（3）利用上题结果证明对{}n ξ成立柯尔莫哥洛夫强大数定律。

54、（1）设{}k c 为常数列，令{}1,sup ||,1,2,n k m m k m k s c b s s k ∞+===-=∑L inf{,1,2,}m b b m ==L ，试证1kk c∞=∑收敛的充要条件是0b =；（2）(Kronecker 引理)对实数列{}k c ，若1k k c k∞=∑收敛，则110nkk cn =→∑。

56、设12,,X X L 是独立随机变量序列，对它成立中心极限定理，则对{}n X 成立大数定律的充要条件为()21()n D X X o n ++=L 。

57、设12,,X X L是独立同分布随机变量序列，且1nk =∑1,2,n =L 有相同分布，那么，若0,1i i EX DX ==，则i X 必须是(0,1)N 变量。

58、设{}k X 是独立随机变量序列，且k X 服从(0,2)kN -，试证序列{}k X ：（1）成立中心极限定理；（2）不满足费勒条件；（3）不满足林德贝格条件，从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必要条件。

59、若{}k X 是独立随机变量序列，i X 服从[1,1]-均匀分布，对2,3,,k k X =L 服从1(0,2)k N -，证明对{}k X 成立中心极限定理，但不满足费勒条件。

60、在普阿松试验中，第i 次试验时事件A 出现的概率为i p ，不出现的概率为i q ，各次试验是独立的，以n v 记前n 次试验中事件A 出现的次数，试证：（1）()0P n n v Ev n-−−→；（2nn i v p ⎛⎫- ⎪∑成立中心极限定理的充要条件是1i ii p q∞==+∞∑。

61、设{}k X 独立，k X 服从[,]k k -均匀分布，问对{}k X 能否用中心极限定理？ 62、试问对下列独立随机变量序列，李雅普诺夫定理是否成立？（1）:1122k X ⎛ ⎪ ⎪⎝⎭； （2）0:,0111333a a k k k X a ⎛⎫- ⎪> ⎪ ⎪⎝⎭。

65、 求证：当n →∞时，01!2k nnk n e k -=→∑。

解答1.证：对任意0x >，11{}()()()ax ayaxaxy xy xy xP x dF y e dF y edF y e e ξ≥≥≥≥==≤⎰⎰⎰1()ay ax a ax e dF y e Ee eξ∞-≤=⎰2、证：()h ξ为非负随机变量，所以对0c >有1{()}()()h h x cx c P h c dF x xdF x c ξ≥≥≥=≤⎰⎰011()()h xdF x Eh c c ξ∞≤=⎰。