第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。

2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。

3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k Nck f ==（2）,,2,1,!)( ==k k c k f k λ 0>λ。

4、证明函数)(21)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。

5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。

6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=<a P ξ；（2）01.0}|5{|=>-a P ξ。

7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=-∞F 1)(=+∞F 。

8、试证：若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。

9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。

10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使)}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。

证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ；（2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。

但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。

11、试证)2(22),(cy bxy ax ke y x f ++-=为密度函数的充要条件为,0,0,02<->>ac b c a π2b ac k -=。

12、若)(),(21y f x f 为分布密度，求为使),()()(),(21y x h y f x f y x f +=成为密度函数，),(y x h 必须而且只需满足什么条件。

13、若),(ηξ的密度函数为 ⎩⎨⎧>>=+-其它,00,0,),()2(y x Ae y x f y x ，试求：（1）常数A ；（2）}1,2{<<ηξP ；（3）ξ的边际分布；（4）}2{<+ηξP ； （5）)|(y x f ；（6）}1|2{<<ηξP 。

14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。

15、设二维随机变量),(ηξ的联合密度为y k k e x y x k k y x p ----ΓΓ=112121)()()(1),(∞<≤<>>y x k k 0,0,021，试求与ξ的η边际分布。

16、若)(),(),(321x f x f x f 是对应于分布函数)(),(),(321x F x F x F 的密度函数，证明对于一切)11(<<-αα，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数)(),(),(321x f x f x f ：)(),(),(321x f x f x f ]}1)(2[]1)(2[]1)(2[1){(),(),(332211332211-⨯-⨯-+=x F x F x F x f x f x f α。

17、设ξ与η是相互独立的随机变量，均服从几何分布 ,2,1,),(1==-k p qp k g k 。

令),max(ηξζ=，试求（1）),(ξζ的联合分布；（2）ζ的分布；（3）ξ关于ζ的条件分布。

18、（1）若),(ηξ的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,0,4),(y y x xy y x f ，问ξ与η是否相互独立？（2）若),(ηξ的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,0,8),(y y x xy y x f ，问ξ与η是否相互独立？19、设),,(ζηξ的联合密度函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤-=其它时当,0202020),sin sin sin 1(81),,(3ππππz y x z y x z y x p试证：ζηξ,,两两独立，但不相互独立。

20、设),(ηξ具有联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,01||,1||,41),(y x xy y x p ，试证ξ与η不独立，但2ξ与2η是相互独立的。

21、若1ξ与2ξ是独立随变量，均服从普要松分布，参数为1λ2λ及，试直接证明（1）21ξξ+具有普承松分布，参数为21λλ+；（2）kn kk n n k P -⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==+=212211211}|{λλλλλλξξξ。

22、若ηξ,相互独立，且皆以概率21取值+1及1-，令ξηζ=，试证ζηξ,,两两独立但不相互独立。

23、若ξ服从普阿松分布，参数为λ，试求（1）b a +=ξη；（2）2ξη=的分布。

24、设ξ的密度函数为)(x p ，求下列随机变量的分布函数：（1）1-=ξη，这里0}0{==ξP ；（2）ξηtg =；（3）||ξη=。

25、对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于)(b a +内，试求圆面积的分布密度。

26、若ηξ,为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求ηξζ+=的分布密度函数。

27、设ηξ,相互独立，分别服从)1,0(N ，试求ηξζ=的密度函数。

28、若ηξ,是独立随机变量，均服从)1,0(N ，试求ηξηξ-=+=V U ,的联合密度函数。

29、若n ξξξ,,,21 相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为n λλλ,,,21 ，试求),,,min(21n ξξξη =的分布。

30、在),0(a 线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。

31、若气体分子的速度是随机向量),,(z y x V =，各分量相互独立，且均服从),0(2σ=N ，试证222z y x S ++=斑点服从马克斯威尔分布。

32、设ηξ,是两个独立随机变量，ξ服从)1,0(N ，η服从自由度为n 的2-x 分布(3.14),令n t //ηξ=，试证t 的密度函数为 )1(212121)1(21)(+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=n n n x n n n x P π 这分布称为具有自由度n 的-t 分布在数理统计中十分重要。

33、设ζηξ,,有联合密度函数⎩⎨⎧>>>+++=-其它时当,00,0,0,)1(6),,(4z y x z y x z y x f ，试求ζηξ++=U 的密度函数。

34、若ηξ,独立，且均服从)1,0(N ，试证22ηξ+=U 与ηξ=V 是独立的。

35、求证，如果ξ与η独立，且分别服从-Γ分布),(1r G λ和),(2r G λ，则ηξ+与ηξ也独立。

36、设独立随机变量ηξ,均服从⎩⎨⎧>=-其它,00,)(x e x p x ，问ηξ+与()ηξξ+是否独立？37、若（ηξ,）服从二元正态分布（2.22），试找出ηξ+与ηξ-相互独立的充要条件。

38、对二元正态密度函数()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--++-=6514222221ex p 21),(22y x xy y x y x p π， （1）把它化为标准形式（2.22）；（2）指出r b a 21,,,σσ；（3）求)(x p i ；（4）求)|(y x p 。

39、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-212143237,01Ba ，试写出分布密度（2.12），并求出),(21ξξ的边际密度函数。

40、设ηξ,是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于0，且有二阶导数，试证若ηξ+与ηξ-相互独立，则随机变量ηξηξηξ-+,,,均服从正态分布。

41、若f 是Ω上单值实函数，对1R B ⊂，记})(:{)(1B f B f ∈Ω∈=-ωω。

试证逆映射1-f具有如下性质： （1） Λ∈-Λ∈-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ)(11B f B f; （2） Λ∈-Λ∈-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ)(11B f B f ; （3）)()(11B f B f--=.42、设随机变量ξ的密度函数是f x c x x ()=<<⎧⎨⎩2010其它（1）求常数C ；（2）求α使得()p a ξ>=()p a ξ<.43、一个袋中有k 张卡写有,1,2,,k k n =，现从袋中任取一张求所得号码数的期望。

44、设2,, ~(,) r v N m ξτ，η在ξ=x 的条件密度分布是P y x y x (|)()=--12222πσσ，求η=y 的条件下ξ的密度p x y (|)?45、设ξ与η独立同服从(0,)a 上的均匀分布，求X ξη=的分布函数与密度函数。

46、设(,)ξη的联合分布密度为2()0,0(,)0x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，（1）.求常数A ；（2）求给定时的条件密度函数。

47、在(0,4)中任取两数，求其积不超过4的概率。

48、若(,) ξη的分布列是（见下表）(1)求出常数A; (2)求出 =2ξ 时η的条件分布列。

49、设(,) ξη独立的服从 (0,1)N 分布，令, - U V ξηξη=+=，求(,)U V 的联合密度函数及边际密度函数。

50、设随机变量ξ的密度函数为 P X X ()=⎧⎨⎩403 01<<X 其它，(1).求常数a ，使P{ξ>a} = P{ξ<a}； (2).求常数b ，使P{ξ>b} = 0.05。

51、地下铁道列车运行的间隔时间为2分钟，旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望及均方差。

52、设二维随机变量(,)ξη的联合密度函数为：6(2),01,01(,)0xy x y x y p x y --≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它， (1)求=2+3ζξ的密度函数；(2)求|(|)p y x ηξ; (3)11{|}22p ηξ<<53、若二维随机变量(,)ξη的密度函数为：(2)2,0,0(,)0,x y e x y P x y -+⎧>>=⎨⎩其它，1)求δξη=+的密度函数；2)求(2)P ξη+<；（3） {1|2}P ξη<<54、若2,~(,) r v N a ξσ，求aξησ-=的密度函数。