Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零，即
M 0
M
x
0
M
y
0
M
z
0
称为空间力偶系的平衡方程.
§4–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
力的平移定理
作用于刚体上的任一个力可以平移到刚体上任一 点O，但除该力外，还需附加一个力偶，其力偶 矩矢等于该力对于O点的力矩矢。 －F
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
F1 F2 3.54kN
z
0
FA 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，
画受力图。
F 0 F 0
x
y
FOB sin 45 FOC sin 45 0
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
（拉） FOA 1414N FOB FOC 707N
例4-4 已知： F , l , a,
称为重心或形心公式
2． 确定重心的悬挂法与称重法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l 则
F2 有 xC l P
F1 xC l P
l ' l cos
xC ' xC cos h sin
H sin l
l2 H 2 cos l
M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x
M z ( F ) Fy x Fx y
M O ( F ) yFz zFy M x ( F ) x M O ( F ) zFx xFz M y ( F )
空间汇交力系的合力 FR F i
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx
FRy Fiy Fy
FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
F cos( F , i )
R x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
FR
§4–1 空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
P P yC P 1 y1 P 2 y2 .... P n yn
Pi yi
yC
i
xC
Px
i i
Py P
i
P zC P 1 z1 P 2 z2 .... P n zn Pi zi
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量
力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．力偶系的合成与平衡条件
FRy Fyi
i 1 n
FRz Fzi
i 1
cosF cosF
FRx cos FRx , i
Ry Ry
Rz
F , j ,k F
F F F
Rz
主矩：利用力矩合成定理，先计算出主矩在各个
坐标轴上的投影
（主矩在某一坐标轴上的投影各分量在同一坐标轴上投影 的代数和）
M M M
M iz F
i 1



FRx FRy FRz
—有效推进力 —有效升力 —侧向力
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
MOx —滚转力矩 MOy —偏航力矩 MOz —俯仰力矩
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果） （1） 合力 过简化中心合力 0, MO 0 FR
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件：
该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三 个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以 及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零 .
空间平行力系的平衡方程
cos( FR , j )
Fy FR
Fz cos( FR , k ) FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点. 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即
FR 0
F
x
0
F
y
0
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A .
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
M Ox M Oy M Oz
M ix F
n i 1 n

M O M Oy M Oy M Oz
2 2
2
M iy F
i 1 n
cos M O , i cos M O , j cos M O , k
M Ox M Oy M Oz
MO
M
F F
1． 空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系 .
空间汇交力系的合力
Fi Fx i Fy j Fz k FR
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
2.力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z
F2 F1 1 zC r l2 H 2 P H
例4-1
已知：Fn , ,
求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
解： Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
zC Pz P
i i
计算重心坐标的公式为
xC Px P
i i
yC
Py
i
i
P
zC
Pz P
i i
对均质物体，均质板状物体，有
xC xC Vx V
i i
yC
Vy
i i
Ax A
i i
yC
V Ai yi A
zC
Vz
i i
zC
V Ai zi A
y
M O ( F ) xFy yFx M z ( F ) z
§4–3
空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向；
（3） 作用面：力偶作用面。
M r( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
M O ( F ) yFz zFy x
M O ( F ) zFx xFz y
M O ( F ) xFy yFx z
（3）力螺旋
FR 0, MO 0, FR MO
一个合力偶，此时与简化中心无关。
中心轴过简化中心的力螺旋
力螺旋
FR 0, MO 0, FR , MO 既不平行也不垂直
力螺旋中心轴距简化中心为
M O sin d FR
（4）平衡
0, MO 0 FR
平衡
§4–5 空间任意力系的平衡方程
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。
M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F ) rA F rB F
F F
MO (F , F ) (rA rB ) F M
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2 ,......, M n rn Fn
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和 .
Mx Mx , M y M y , Mz Mz