（2）力矩矢通过O点
MOF
（3）力矩矢的方向：垂直于OAB平面，指向由右 手螺旋法则决定之。
由矢量分析理论可知：
M OFrF
r h O
x
B
F A
y
力矩矢量的方向
MO
F
按右手定则
r
MOrF
力对点之矩的矢量运算
由高等数学知：
Fz F
i
M OFrF= x
Fx
jk yz Fy Fz
空间汇交力系的平衡条件：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
例题：已知：
C E E B E, D 30 ,0 F 1k0N 求：起重杆AB及绳子的拉力.
z D
E α
C B
α F
A
y
x
解：取起重杆AB为研究对象 建坐标系如图，
z D
E
C
α F2
B
F1 α
P
AБайду номын сангаас
y
x
FA
列平衡方程：
Fx 0
F 1 si 4 n 0 5 F 2si 4 n 0 5 0
z
Fz
βF
α
Fx
γ Fy
y
x
2、二次投影法 已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
第一次投影：
Fxy F sin Fz F cos
若再知道 Fxy 与x轴的夹角φ
第二次投影
z
FZ
F
γ
Fx Fxy cos
φ
Fy y
Fy Fxy sin
Fx
最后得：
x
Fx F s in cos
F xy
Fy F s in s in
F2 si n600
1000
3 866N 2
Fy2 F2 cos600 500N
Fz2 0
2. 5m
y 3m
对F3 应采用直接投影法
Fx F s in cos
Fy F s in s in
A
Fz F cos
F1
sin BC
42 32
0.8944
AB 42 32 2.52
cos 0.4472
M z FM OF x y
方法一 :
将力向垂直于该轴的平面投影 , 力对轴的矩等于力的投影与投影 至轴的垂直距离的乘积.
Mz (F) = Fxyd = 2(OAB)
力对轴之矩的计算
方法二:
将力向三个坐标轴方向分解,分别求三个分力对 轴之矩，然后将三个分力对轴之矩的代数值相加。
Mz FMz FxMz Fy
n
F Rx
F xi
i1
n
F Ry
F yi
i1
n
F Rz
F zi
i1
根据空间合力投影定理，合力的大小和方向可 按照以下公式进行计算。
F R F R ix F Rjy F R k z
合力的大小： 合力的方向：
F RF R2 xF R2 yF R2 z
F x2 i F y2 i F zi 2
F2
B P
y
空间汇交力系在任一平面上的投影 →平面汇交力系
z D
E
空间汇交 力系平衡，投影得到的平面汇交 力系也必然平衡。
C
α F2
B
F1 α
P
z
Fy 0,
FA si n300 F1cos450 cos300 F2 cos450 cos300 0
A x
FA
Fz 0,
F1co4s50sin 300 F2co4s50sin 300 FAco3s00 P0
C
sin CD
4
0.8
x
BC
42 32
cos BD
3
0.6
BC
42 32
z 4m
60 0 F2
2. 5m F3
γ
B
φ
y
3m
D
F x F si c n o 1 s 5 0 . 8 0 9 0 . 0 6 4 8N 4 0
F y F sis n i n 1 5 0 .8 0 9 0 .8 4 1 4 N 0
yE
2 2
F1
F2
B
α P
A
y
FA
§3-2 力对轴的矩 一、空间力对点的矩
空间力对点的矩取决于： （1）力矩的大小 （2）力矩作用面的方位 （3）力矩在作用面内的转向
这三个因素可以用一个矢量来表示，记为：
MOF
z
MOF
B
F
r
A
O
y
x
空间力对点的矩的计算
（1）力矩的大小为：
M OFF h2 OAB z
空间力系的受力分析
空间力系：力的作用线不位于同一平面内。
空间力系包括：
空间汇交力系 空间力偶系
空间任意力系
§3-1 力在空间直角坐标轴上的投影
一、空间力沿直角坐标轴的投影和分解 1、直接投影法
已知力 F 与三个坐标轴的夹角，则该力在三 个轴上的投影为
F x F cos F y F cos F z F cos
Fz F cos
例题
已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，
求：各力在坐标轴上的投影
z
解： F1 、F2 可用直接投影法
4m
F x F cos
F y F cos
F z F cos
F1
Fx1 0
Fy1 0 Fz1 F1 500N x
60 0 F2
F3
Fx2
F z F co 1 s5 0 .4 04 0 6 7 N 7 2 1
二、空间汇交力系的合成和平衡
1、合成 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力作用点（线）通过汇交点。
n
F RF 1F 2 F n F i
i 1
空间合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于力系中各分力在同一轴上投影的代数和。
Fx
r
Fy
y z z F yi F z x F x z j F x y y F xk F
二、力对轴之矩 1、定义: 力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力 对该轴之矩.
2、力对轴之矩实例
F
Fz
Fy Fx
F xy
3、力对轴之矩的计算 力F对z轴的矩等于该力在通过O点垂直于z轴的平 面上的分量 对于O点的矩。
C
Fy 0
FAsi3 n0 0F1co4s5 0co3s0 0 F2co4s5 0co3s0 0 0
Fz 0 x
F 1co4s0 5si3 n0 0F 2co4s0 5si3 n0 0
F Aco 3s0 0P0
解得：
F1
F2
10 2
3.54kN 2
FA 6F1 8.66kN
z E
α
F1 α
A
FA
D
Mz Fz
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线 2、力与轴线平行
F
Fz
Fy Fx
力对轴之矩代数量的正负号 （按照右手螺旋法则决定之）
三、力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:
力对点之矩的矢量在某一轴上的投影,等于该力 对该轴之矩 。
COS
( F R ,i )
F Rx FR
COS
( FR , j )
F Ry FR
COS
( F R ,k )
F Rz FR
2、空间汇交力系的平衡 空间汇交力系平衡的充要条件为：合力 = 0。
n
FR
Fi 0
i1
由于
F R F x2 i F y2 i F z2 i