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设一刚体受空间任意力系F1，F2 … Fn作用，各力 作用点分别为A1，A2 … An 。
z
z
F1
Fn
A1
O An
y
x
A2
F2
Mn F'n O
x
M1 F'1 F'2
y
M2
在刚体内任取一点O为简化中心，应用力线平移定 理，依次将各力平移到点O即得到一个作用于简化中 心O的空间汇交力系 F1，F2 … Fn 和一个力偶矩矢分别 为M1，M2 …Mn的附加力偶所组成的空间力偶系。
FR = i FRx+ j FRy+ k FRz FRx = Fxi FRy = Fyi
Mo = i Mox + j Moy +k Moz
FRz = Fzi
= i Mox(Fi) + j Moy(Fi) +k Moz(Fi) 2. 空间任意力系的简化结果分析
(1) FR = 0，Mo = 0 原力系平衡。 (2) FR 0，Mo = 0 原力系的最后简化结果为作用于 简化中心的一个力FR，即原力系的合力FR 。
M
A
F´
F
d rBA B
M
证明:在空间任取一点o为矩心。
A
F
Mo(F, F') = Mo(F) +Mo(F')
= rB×F + rA× F´ = (rB - rA) ×F = rBA×F = M
F´ rA d rBA B
rB O
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2. 空间力偶等效定理 作用在刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩
矢相等，则它们彼此等效。
空间力偶 任意力 系的简化
李吉芳教案 2004.4.6
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内容提要
3-3. 空间力偶 3-4. 空间任意力系向一点的
简化. 主矢和主矩
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3-3. 空间力偶 1. 力偶矩以矢量表示 ·力偶矩矢
M = rBA×F = rAB×F´
力偶中两力对空间任一点的 矩的矢量和等于该力矩矢 , 而 与矩心的选择无关。
偶矩矢Mo称为原力系对简化中心的主矩。
Mo = Mi = Mo(Fi)
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结论: 空间任意力系向任一点简化， 一般可得 到原力系的主矢和原力系对简化中心的主矩。
主矢FR 只取决于原力系中各力的大小和方向， 与简化中心的位置无关；而主矩 Mo 的大小和方 向都与简化中心的位置有关。
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主矢与主矩的解析表达式：
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其中: F1 = F1， F2 = F2，…， F'n = Fn
M1 = Mo(F1)， M2 = Mo(F2)，…， Mn = Mo(Fn)
z
空间汇交力系 F1，F2 … Fn可
合成为作用在O点的一个力FR 。 矢量FR 称为原力系的主矢。
MO O
FR y
FR = F'i = Fi
x
由力偶矩矢分别为 M1，M2 … Mn 的附加力偶 所组成的空间力偶系可合成为一个力偶，其力
(1)只要力偶矩矢保持不变。力偶可以从刚体的 一个平面移到另一个平行的平面内 ，而不改变其对 刚体的转动效应。
(2)力偶可以在其作用面内任意转移，而不会改 变它对刚体的转动效应。
(3)在保持力偶矩大小不变的条件下，可以任意 改变力偶的力的大小和力臂的长短，而不改变它对 刚体的转动效应。
力偶矩矢是自由矢量。
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3. 空间力偶系的合成与平衡条件
设一空间力偶系由 n 个力偶组成，其力偶矩矢分 别为: M1， M2，…，Mn 。由于力偶矩矢是自由矢 量，则n 个力偶矩矢组成一个汇交矢量系。利用合 矢量投影定理进行力偶系的合成与平衡。
(1)空间力偶系的合成
Mx = Mxi
M = Mi
My = Myi
Mz = Mzi
z
M1
M4
M5
450
M2
M3
x
y
7
l/2
解: M1 = - 80 k M2 = - 80 j M3 = - 80 i M45 = R × F
令l 2 m R 1m
z
M1
F
R
M4
M5
450
y
F'
M2
l/2
则M45 =160 = F
得: F = 160
x
M3
R = - 0.707 i +0.707 k
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例题3-6. 若三个力偶作用于楔块上使其保持平衡。 设Q = Q=150N。求力P与F的大小。
z
F´
FQ
o
P
y
Байду номын сангаас
0.3m
Q´
x
0.4m
P´
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解: 取楔块为研究对象。
z
Mp = -0.6i×P j = - 0.6Pk
F´
FQ
MF = 0.6 i×Fk
0.3m
= - 0.6F j
x
o
0.4m
Q´ P´
M45 =(- 0.707 i +0.7073 k )×160 j = -113.1 i - 113.1 k
M = Mi = -193.1 i -80 j – 193.1 k
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例题3-5. O1和O2圆盘与水平轴AB固连，O1垂直于z 轴，O2 垂直于x 轴，盘面上分别作用有力偶 (F1 , F'1) 和 (F2 , F'2) ，如图所示。如两盘半径均为 200mm， F1 = 3N，F2 = 5N，AB = 800mm，不计构件自重。求 轴承A和B处的约束力。
z F'1
O1
F1
A
x
F2
O O2
B
y
F'2
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解:取两圆盘 和轴AB为研 究对象。
z FAz F'1
A
xFAx
F2
O1
O O2
Mxi = 0
F'2
400 F2 - 800 FAz = 0
(1)
F1 FBz
B
y FBx
Mzi = 0
400 F1 + 800 FAx = 0 (2)
解得: FAx = FBx = -1.5N FAz = FBz = 2.5N
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(2) 空间力偶系的平衡
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中 所有力偶矩矢在三个直角坐标轴中每一轴上的投影 的代数和等于零。
M = Mi = 0
Mxi = 0 Myi = 0 Mzi = 0
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例题3-4.工件如图所示，它的四个侧面上同时钻五个孔， 每个孔所受的切削力偶矩均为 80kN.m。求工件所受合 力偶的矩在x、y、z轴上的投影Mx 、 My 、 Mz 。
MQ=(-0.4 j+0.3k)×150i = 60k + 45 j
Myi = 0 -0.6F + 45 = 0
F = 75 N
Mzi = 0 -0.6P + 60 = 0
P = 100 N
P
y
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3-4. 空间任意力系向一点的简化.主矢和主矩 1.空间任意力系向一点的简化
力线平移定理: 作用于刚体上的一力F，可以 平行移动到刚体上的任一点O。但必须同时在此 力线与O所决定的平面内附加一力偶，此附加力 偶矢的大小和方向等于力F对O点的力矩矢的大 小和方向。