第二节 线性空间的维数 基底
线性空间是n维向量空间的推广, 这样向量 空间中的线性相关、线性无关、最大线性无 关组等概念及有关性质在线性空间中仍然成 立. 根据这些概念推导出的定理在线性空间中 也是成立的.
n维向量空间的最大线性无关组只含有n个 向量. 而实系数多项式全体构成的实线性空间 的最大无关组可为
1, x, x2 ,, xn ,
含有无穷多个元素.
定义 在线性空间V中，如果存在n个线性无
关的向量 1,2 ,,n 使V中任一元素
都可由这n个线性无关的元素线性表出, 则这n个线性无关的元素称为线性空间 V的一组基底(简称基base)
注 在向量组中, 最大线性无关组不唯一, 线性 空间的基也不唯一, 但任意两组不相同的基所 含元素的个数相同.
定义 非零线性空间V的基中所含元素的个数, 称为线性空间的维数, 记为dimV.
例如 全体n阶方阵组成的线性空间Mn n是n2维的.
对只含有零元素的线性空间----零空间, 没有 基, 规定dimV=0.实系数多项式的体构成的实线性空间是无 限维的.
n元齐次线性方程组Ax=0的解空间是n R(A) 维的.