专题 反比例函数与几何图形综合题
反比例函数与三角形
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点B 的坐标
是(m ，－4)，连接AO ，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3
5.
(1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB ，求△AOB 的面积．
分析：(1)过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，通过解直角三角形求出线段AE ，OE 的长度，得出点A 的坐标，即可求出反比例函数解析式；(2)先求出点B 的坐标，再求直线AB 的解析式，从而可求出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
解：(1)过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，设反比例函数解析式为y ＝k
x .∵AE ⊥x 轴，∴∠AEO ＝90°.在Rt △AEO 中，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3
5，∴AE ＝AO·sin ∠AOC ＝3，OE ＝AO 2－AE 2＝4，∴点A 的坐标为(－4，3)，可求反比例函数解析式
为y ＝－12
x
(2)易求B(3，－4)，可求直线AB 的解析式为y ＝－x －1.令一次函数y ＝－x
－1中y ＝0，则0＝－x －1，解得x ＝－1，∴C(－1，0)，∴S △AOB ＝1
2OC·(y A －y B )＝12×1×[3－(－4)]＝72
反比例函数与四边形
2. (2016·恩施)如图，直角三角板ABC 放在平面直角坐标系中，直角边AB 垂直于x 轴，垂足为点Q ，已知∠ACB ＝60°，点A ，C ，P 均在反比例函数y ＝43
x 的图象上，分别作PF ⊥x 轴于点F ，AD ⊥y 轴于点D ，延长DA ，FP 交于点E ，且点P 为EF 的中点．
(1)求点B 的坐标；
(2)求四边形AOPE 的面积．
分析：(1)设点A(a ，b)，则tan 60°＝b a ＝3，b ＝43
a ，联立可求点A 的坐标，从而得出点C ，B 的坐标；
(2)先求出AQ ，PF 的长，从而可求点P 的坐标和S △OPF ，再求出S 矩形DEFO ，根据S 四边形AOPE ＝S 矩形DEFO －S △AOD －S △OPF ，代入计算即可．
解：(1)∵∠ACB ＝60°，∴∠AOQ ＝60°，∴tan 60°＝AQ
OQ ＝3，设点A(a ，
b)，则⎩
⎨⎧b
a ＝3，
b ＝43a ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，
b ＝－23(不合题意，舍去)，∴点A 的坐标是
(2，23)，∴点C 的坐标是(－2，－23)，∴点B 的坐标是(2，－23)
(2)∵点A 的坐标是(2，23)，∴AQ ＝23，∴EF ＝AQ ＝23，∵点P 为EF 的中点，∴PF ＝3，设点P 的坐标是(m ，n)，则n ＝3，∵点P 在反比例函数y ＝43x 的图象上，∴3＝43m ，S △OPF ＝1
2|43|＝23，∴m ＝4，∴OF ＝4，∴S 矩形
DEFO
＝OF·OD ＝4×23＝83，∵点A 在反比例函数y ＝
43
x 的图象上，∴S △AOD
＝1
2|43|＝23，∴S 四边形AOPE ＝S 矩形DEFO －S △AOD －S △OPF ＝83－23－23＝4 3
1．(2016·泸州)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k ＜0)与反比例函数y ＝m
x 的图象相交于A ，B 两点，一次函数的图象与y 轴相交于点C ，已知点A(4，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OB(O 是坐标原点)，若△BOC 的面积为3，求该一次函数的解析式．
解：(1)y ＝4
x (2)∵一次函数y ＝kx ＋b(k ＜0)经过点A(4，1)，∴4k ＋b ＝1，
即b ＝1－4k ，联立⎩⎨⎧y ＝4x ，y ＝kx ＋1－4k
得kx 2＋(1－4k)x －4＝0，解得x ＝4或－1
k ，∴
点B(－1k ，－4k)，又点C(0，1－4k)，而k ＜0，∴－1
k ＞0，1－4k ＞0，∴S △BOC
＝12×(－1k )×(1－4k)＝3，∴k ＝－1
2，∴b ＝1－4k ＝3，∴该一次函数解析式为y
＝－1
2x ＋3
2．(2016·宁夏)如图，Rt △ABO 的顶点O 在坐标原点，点B 在x 轴上，∠
ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，反比例函数y ＝k
x (x ＞0)的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D.
(1)求反比例函数的关系式；
(2)连接CD ，求四边形CDBO 的面积．
解：(1)∵∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，∴AB ＝3
3OB ＝2，作
CE ⊥OB 于E ，∵∠ABO ＝90°，∴CE ∥AB ，∵OC ＝AC ，∴OE ＝BE ＝1
2OB ＝
3，CE ＝12AB ＝1，∴C(3，1)，可求反比例函数的关系式为y ＝3
x (2)∵OB ＝23，∴点D 的横
坐标为23，代入y ＝3x 得y ＝12，∴D(23，12)，∴BD ＝1
2，∵AB ＝2，∴AD ＝32，∴S △ACD ＝12AD·BE ＝12×32×3＝334，∴S 四边形CDBO ＝S △AOB －S △ACD ＝12
OB·AB －334＝12×23×2－334＝53
4
1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，
与反比例函数y ＝m
x 的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，tan ∠
ABO ＝1
2，OB ＝4，OE ＝2.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD ，BF ，如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标．
解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2，∴BE ＝OB ＋OE ＝6.∵CE ⊥x 轴，∴∠CEB ＝90°.
在Rt △BEC 中，BE ＝6，tan ∠ABO ＝12，∴CE ＝BE·tan ∠ABO ＝6×1
2＝3，∴C(－
2，3)，可求反比例函数的解析式为y ＝－6
x
(2)∵点D 在反比例函数y ＝－6
x 第四象限的图象上，∴设点D 的坐标为(n ，－6n )(n ＞0)．在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝4，tan ∠ABO ＝1
2，∴OA ＝
OB ·tan ∠ABO ＝4×12＝2.∵S △BAF ＝12AF·OB ＝12(OA ＋OF)·OB ＝12(2＋6
n )×4＝4＋12n .∵点D 在反比例函数y ＝－6x 第四象限的图象上，∴S △DFO ＝1
2×|－6|＝3.∵S
△BAF ＝4S △DFO ，∴4＋12n ＝4×3，解得n ＝32，经检验n ＝3
2是分式方程的解，∴点
D 的坐标为(3
2，－4)
2．如图，反比例函数y＝k
x(x＞0)的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝
90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6.
(1)求k的值；
(2)点P在反比例函数y＝k
x(x＞0)的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF＝
90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y＝x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE＝PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，则∠MCA＝∠MDB ＝90°，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD，∴△AMC≌△BMD，∴S四边形OCMD＝S四
边形OAMB
＝6，∴k＝6
(2)存在点E，使得PE＝PF.由题意得点P的坐标为(3，2)，①过点P作PG⊥x 轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K，∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3－2＝1，GE＝HP＝2－1＝1，∴OE＝OG＋GE＝3＋1＝4，∴E(4，0)；②过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K，∵∠PGE＝∠FHP ＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG＝FH＝2，FK＝OK ＝3＋2＝5，GE＝HP＝5－2＝3，∴OE＝OG＋GE＝3＋3＝6，∴E(6，0)．综上可知，点E的坐标为(4，0)或(6，0)。