二次函数与几何图形综合题类型 1 二次函数与相似三角形的存在性问题1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2) 三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P 为线段BC 上的一个动点，过P 作PE 垂直于x 轴与抛物线交于点E，设P 点横坐标为m，PE 长度为y，请写出y 与m 的函数关系式，并求出PE 的最大值；(3)D 为抛物线上一动点，是否存在点D 使以A、B、D 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝x＋4 与坐标轴分别交于A，B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当DE＝4 时，求四边形CAEB 的面积；(3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由．3．(2015·襄阳)边长为 2 的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB 为对称轴的抛物线过C，E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 从点C 出发，沿射线CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点P 作PF⊥CD 于点F.当t 为何值时，以点P，F，D 为顶点的三角形与△COD 相似？(3)点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型 2 二次函数与平行四边形的存在性问题1．(2014·曲靖)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；1(2) F 是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE ＝，求点O 到直线AF 的距离；2(3)点P 是x 轴上的一个动点，过P 作PQ∥OF 交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2．(2013·昆明)如图，矩形OABC 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O，A 两点，直线AC 交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D 的坐标；(3)若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以点A，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2015·昆明西山区二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3 与x 轴交于A、B 两点(A 点在B 点左侧)，直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为 2.(1)求A、B、C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；(3)点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．类型 3 二次函数与直角三角形的存在性问题1．(2015·云南)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B、C 两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5.(1)分别求直线BC 和抛物线的解析式(关系式)；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2015·自贡)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x 轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n 经过B、C 两点，求线段BC 所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出此点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x＝－1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．3．(2015·益阳)已知抛物线E1：y＝x2 经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A、B 关于y 轴的对称点分别为点A′，B′.(1)求m 的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图，P 为第一象限内的抛物线E1上与点A 不重合的一点，连接OP 并延长与抛物线E2相交于点P ′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．类型 4 二次函数与等腰三角形的存在性问题131．(2015·黔东南)如图，已知二次函数y1＝－x2＋x＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4，0)，与y4轴的交点为B，过A、B 的直线为y2＝kx＋b. (1)求二次函数y1的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，直线y＝kx－1 与抛物线交于A，C两点，其中A(－1，0)，B(3，0)，点C的纵坐标为－3.(1)求k 值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP 是以AC 为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．(2015·昆明官渡区二模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)交于x 轴于A(－1，0)，B(5，0) 两点，与y 轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM 的面积；(3)连接AC，在x 轴上是否存在点P，使△ACP 为等腰三角形；若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 5 二次函数与图形面积问题1．(2014·昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求K 点坐标．k2．(2015·云南二模)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)与双曲线y＝相交于点A、B，点A 的坐x标为(－2，2)，点B 在第四象限内，过点B 作直线BC∥x 轴，直线BC 与抛物线的另一交点为点C，已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的 4 倍，记抛物线的顶点为E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算△ABC 与△ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点D，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的 8 倍？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 6 二次函数与最值问题1．(2015·昆明盘龙区一模)如图，对称轴为直线x＝2 的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x 轴另一交点为B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当a＝1 时，求四边形MEFP 的面积最大值，并求此时点P 的坐标；(3)若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．2．(2013·玉溪)如图，顶点为A 的抛物线y＝a(x＋2)2－4 交x 轴于点B(1，0)，连接AB，过原点O 作射线OM∥AB，过点A 作AD∥x 轴交OM 于点D，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，连接CD.(1)求抛物线的解析式(关系式)；(2)求点A，B 所在的直线的解析式(关系式)；(3)若动点P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线OM 运动，设点P 运动的时间为t 秒，问：当t 为何值时，四边形ABOP 分别为平行四边形？(4)若动点P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点D 运动，同时动点Q 从点C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点O 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连接PQ.问：当t 为何值时，四边形CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长．类型 7 二次函数与根的判别式问题1．(2015·衡阳)如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线y＝x＋1 相交于A、B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为 2，连接AM、BM.(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ABM 的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线y＝x 的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？类型 8 二次函数与圆1．(2015·昆明盘龙区二模)如图，已知以E(3，0)为圆心，以 5 为半径的⊙E 与x 轴交于点A，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A，B，C 三点，顶点为F.(1)求A，B，C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；(3)已知M 为抛物线上一动点(不与C 点重合)．试探究：①使得以A，B，M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点F，试判断直线MF 与⊙E 的位置关系，并说明理由．2．(2015·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A为OB的中点，以A 为顶点的抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x 轴分别交于C、D 两点，且CD＝4.点P 为抛物线上的一个动点，以P 为圆心，PO 为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙P 与y 轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P 的坐标；(3)判断直线l 与⊙P 的位置关系，并说明理由．。