2 +
σ y = 70 σ x −σ y
2
τ xy = 0
α = 30
cos(2 × 30 ) = 70 ( MPa)
σ x −σ y
2
sin( 2 × 30 ) = 0
6-6 各单元体的受力如图所示，试求：（ ）主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主 各单元体的受力如图所示，试求：（ ：（1） 单元体；（ ；（2）最大切应力（单位MPa） 。 单元体；（ ）最大切应力（单位 ） 解：(a)
2 ⋅ (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = 93.27 MPa 2
7-2 悬臂木梁上的载荷 1=800N，F2=1650N，木材的许用应力 悬臂木梁上的载荷F ， ，木材的许用应力[σ]=10MPa，设矩形截面的 ，设矩形截面的h=2b， ， 试确定截面尺寸。 试确定截面尺寸。 解：危险截面为固定端，其内力大小为 危险截面为固定端，
σ 1 = −50
τ max =
2
σ 2 = −50
=0
σ 3 = −50
σ1 −σ 3
θ=
1 − 2µ (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) E (1 − 2 × 0.3) × 3 × 50 × 106 =− = −300 ×10 −6 200 × 109
1 2 2 [σ 12 + σ 2 + σ 2 − 2µ (σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 )] 2E
x
σz =0 σx =0 σy =0 σ max σ 1 = 40 = ±40 σ min
τ max =
z
τ xy = −40
σ2 = 0
σ 3 = −40
σ1 −σ 3
2
= 40
y
1− 1− 2µ (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 0 E 1 2 2 u= [σ 12 + σ 2 + σ 2 − 2 µ (σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 )] 2E 2 × (1 + 0.3) × 40 2 × 1012 = = 10.4 ×103 ( J / m 3 ) 2 × 200 ×109 1+ µ ud = [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] 6E (1 + 0.3) × 402 ×1012 = = 10.4 ×103 ( J / m 3 ) 200 ×109
σ x = −20
37.98
σ y = −40
2
τ xy = 40
σ1
20 σ max − 60 11.23 = ± + 402 = −30 ± 41.23 = − 71.23 σ min 2 2
σ 1 = 11.23
σ2 = 0
2τ xy
σ 3 = −71.23
1 3 1 3
1 3 3 ×1600 + 1.5 ×1650 b≥ (3M y + M z ) = (m) = 90mm 6 2 10 ×10 [σ ]
则取截面尺寸为
b = 90mm
h = 180mm
7-4 斜梁 的横截面为 斜梁AB的横截面为 的横截面为100 mm×100Байду номын сангаасmm 的正方形，若F=3kN，作梁的轴力图、弯矩图， 的正方形， × ，作梁的轴力图、弯矩图， 并求梁的最大拉应力和最大压应力。 并求梁的最大拉应力和最大压应力。 分解为轴向力F 解：将F 分解为轴向力 x 和横向力 Fy
σ x = −20MPa σ y = 30MPa τ xy = −40MPa
x z y
2 ~ σ x +σ y σ x −σ y σ max 2 + τ xy ± ~ = 2 σ min 2
− 20 + 30 − 20 − 30 52.17 2 = ± + (−40) = 5 ± 47.17 = − 42.17 2 2
2
主应力为： 主应力为： 相当应力： 相当应力：
σ 1 = 52.17 MPa σ 2 = 50MPa σ 3 = −42.17 MPa
σ r1 = σ 1 = 52.17 MPa
σ r 2 = σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) = 52.17 − 0.3(50 − 42.17) = 49.82 MPa σ r 3 = σ 1 − σ 3 = 94.34 MPa σ r4 =
σ3
x
tan 2α 0 = −
σ x −σ y
= −4
α 0 = −37.98
~ τ max σ x −σ y 2 + τ xy = 41.23 = 2
2
y
τ max =
σ1 −σ 3
2
~ = 41.23 = τ max
6-9 图示一边长为 图示一边长为10mm的立方钢块，无间隙地放在刚体槽内，钢材弹性模量 的立方钢块， 的立方钢块 无间隙地放在刚体槽内，钢材弹性模量E=200GPa， ， =0.3， μ=0.3，设F=6kN，试计算钢块各侧面上的应力和钢块沿槽沟方向的应变（不计摩擦） 。 ，试计算钢块各侧面上的应力和钢块沿槽沟方向的应变（不计摩擦） 为均布压力的合力， 解：假定 F 为均布压力的合力，由已知条件
σ x = 70
σ y = −70
+
τ xy = 0
α = 30
1 = 35 ( MPa) 2
σα =
σ x +σ y
2
σ x −σ y
2
cos(2 × 30 ) = 70 ×
τα =
σ x −σ y
2
sin(2 × 30 ) = 70 ×
3 = 60.62 ( MPa) 2
(b)
σ x = 70 σα = τα = σ x +σ y
Fs =
2 F 3
中性层上的点处于纯剪切应力状态， 中性层上的点处于纯剪切应力状态，有：
σ 45 = −τ
σ 45 +90 = τ
* Fs S z max τ= I zt
由广义胡克定律
ε 45 =
σ 45 − µσ 45 +90
E
=−
(1 + µ )τ E
查表得: 查表得
* 2 FS z max E τ= =− ⋅ ε 45 (= 42.66MPa) 则： 3I z t (1 + µ )
u=
3 × (1 − 2 × 0.3) × 50 2 ×1012 = = 7.5 ×103 ( J / m 3 ) 9 2 × 200 × 10 ud = 1+ µ [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] = 0 6E
6-14 列车通过钢桥时，在钢桥横梁的 点用应变仪测得 x=0.4×10-3， εy= -0.12×10-3 ，已知： 列车通过钢桥时，在钢桥横梁的A点用应变仪测得 点用应变仪测得ε 已知： E=200GPa， µ =0.3 。试求 点的 及y-y方向的正应力 。 试求A点的 点的x-x及 方向的正应力 ， 点为平面应力状态， 解：A点为平面应力状态，由广义胡克定律 点为平面应力状态
εx =
1 (σ x − µσ y ) E
εy =
1 (σ y − µσ x ) E
σx =
E (ε x + µε y ) 2 1− µ
200 × 109 = × (0.4 − 0.3 × 0.12) × 10 −3 = 80MPa 2 1 − 0.3
σy =
E (ε y + µε x ) 2 1− µ
4 5
σ x −σ y
=−
α 0 = −19.33 = −19 20′
x
~ τ max
σ x −σ y 2 + τ xy = 32.02 = 2
2
τ max =
σ1 −σ 3
2
=
57.02 + 7.02 ~ = 32.02 = τ max 2
6-6 各单元体的受力如图所示，试求：（ ）主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主 各单元体的受力如图所示，试求：（ ：（1） 单元体；（ ；（2）最大切应力（单位MPa） 。 单元体；（ ）最大切应力（单位 ） 解： (d)
6-11 已知图示各单元体的应力状态（图中应力单位为 已知图示各单元体的应力状态（图中应力单位为MPa）。试求：（ ）主应力及最大 ）。试求：（1） ）。试求：（ 切应力；（ ；（2）体积应变θ；（ ；（3）应变能密度u及畸变能密度 及畸变能密度u 设材料的E=200GPa， 切应力；（ ）体积应变 ；（ ）应变能密度 及畸变能密度 d。设材料的 ， µ=0.3 。 解： （a）如图取坐标系 ）
σ x = 50
σy =0
2
τ xy = 20
50 σ max 50 57.02 = ± + 202 = 25 ± 32.02 = − 7.02 σ min 2 2
σ1
19.33
σ3
y
σ 1 = 57.02
tan 2α 0 = −
σ2 = 0
2τ xy
σ 3 = −7.02
200 × 109 = × (−0.12 + 0.3 × 0.4) ×10 −3 = 0 1 − 0.32
6-17 在图示梁的中性层上某点 处，沿与轴线成 45º 方向用电阻片测得应变 -0.260×10-3 ，若 在图示梁的中性层上某点K处 方向用电阻片测得应变ε= 材料的E=210GPa， µ =0.28 。试求梁上的载荷 。 试求梁上的载荷F 材料的 ， 处剪力为: 解：测点 K 处剪力为