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研究生数值分析(21-22)数值积分

求得积分值。
但是在工程技术和科学研究当中,往 往遇到如下困难,而不能使用牛顿—莱布 尼兹公式。
1、 找不到用初等函数表示的原函数 例如:f (x) 为
sin x , e x2 , 1 , 1 x3
x
ln x
等等
2、 虽然找到了原函数,但因表达式过
于复杂而不便于计算
例如:
a bu cu2 du 2cu b a bu cu2 4c
a b
可惜的是ξ值不易找到,因而难以求出
f(ξ )的准确值。
但若能对 f(ξ )提供一种近似算法, 也可以得到一种数值积分公式。
若取 a ,则得到
b
a f (x)dx f (a)(b a)
如取 a b ,则得到
2
b f (x)dx f ( a b )(b a)
b a
f ( (n1) )
(n 1)!

n 1
(
x)dx
n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ), (a, b)
此时,R n = 0,因而等式
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
成立,其中
Ak
b
a lk (x)dx
b (x x0 ) (x xk1)(x xk ) (x xn ) dx a (xk x0 ) (xk xk1)(xk xk1) (xk xn )
(k 0,1, , n)
根据代数精度的定义,可知定理的结论
成立。
证毕
定理2 数值积分公式
b
n
I ( f ) f (x)dx a
也准确成立
但当 f (x) x4 时,左边≠右边,
故所得求积公式的代数精度 m=3。
例2
给定求积节点
x0

1, 4
x1

3 4
,试推出
计算积分01 f (x)dx 的插值型求积公式,
并写出它的截断误差。
解:由公式
Ak
b
a lk (x)dx
b (x x0 ) (x xk1)(x xk ) (x xn ) dx a (xk x0 ) (xk xk1)(xk xk1) (xk xn )
n
Ln ( x)
f ( xk )lk ( x)
k 0
其中
lk (x)
n j0
x xj xk xj
jk
(k 0,1, , n)
为节点 x0 , x1, , xn 的基本插值多项式。
用 Ln (x) 近似代替被积函数 f(x) ,则得
b
b
n
b
f (x)dx
0
24
4
由公式
b
n
b
b
R[ f ] f (x)dx a
Ak f (xk ) a f (x)dx a Ln (x)dx
k 0

b
a ( f (x) Ln (x))dx
b a
f ( (n1) )
(n 1)!

n 1
(
x)dx
n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ), (a, b)
充分性 设
I (g0 ) In (g0 ), I (g1) In (g1),, I (gm ) In (gm ),
I ( gm1) I n ( gm1) 。
任一 m 次多项式,可表示为
m
m
pm (x) ak xk ak gk (x)
k 0
k 0
m
m
m
于是 I ( pm ) I ( ak gk ) ak I (gk ) ak In (gk )
a
2
如取 b ,则得到
b
a f (x)dx f (b)(b a)
以上三个公式分别称为左矩形公式, 中矩形公式和右矩形公式。
由定积分的定义
b
n1
f (x)dx lim
a
n
f (xk )xk
max xk 0 k 0
可以得到定积分的一个近似计算公式
b
A
y L1(x) B
0a
bx
一个数值积分公式的代数精度越高,就
越能对更多的被积函数准确地或较准确地成
立, 从而具有更好的实际计算意义。
利用待定系数法,可以得到具有尽可能
高的代数精度的数值积分公式。
例1 确定求积公式
1
1 f (x)dx A1 f (1) A0 f (0) A1 f (1)
n 1
f ( x)dx
a
f ( xk )xk
k 0
进一步,我们设想更一般的求积公式为
b
n
f (x)dx
a
Ak f ( xk )

k 0
称 xk 为求积结点, Ak 为求积系数,
它们均与f(x)的具体形式无关。
这类数值积分的方法通常称为机械求 积法,主要有插值型和外推型两种。它们 均是应用被积函数 f(x)在一些节点上的函 数值得线性组合得出积分的近似值。
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
对于次数≤m 的代数多项式均能准确地成立,
但至少对一个 m+1 次多项式不能准确地成
立,则称该数值积分公式具有 m 次代数精
度。
关于代数精度有如下结论:
定理1 含有n+1个节点的插值型数值积分公式
b2 4ac 8c3/2 ln(2cu b 2
c
a bu cu2 ) C1
原函数的计算复杂性大大超过被积函数。
3、f(x) 是由测量和计算得到的函数列 表,即给出的是 f(x) 的一张数据表。
由于这些困难,我们必须研究积分 的数值计算问题。回顾积分中值定理
b
a f (x)dx (b a) f ( )
(k 0,1, , n)
证 当 f(x)为任何次数不高于n的多项式时,
f (n1) (x) 0
根据插值型求积公式的截断误差不断式
b
n
b
b
R[ f ] f (x)dx a
Ak f (xk ) a f (x)dx a Ln (x)dx
k 0

b
a ( f (x) Ln (x))dx
计算求积系数
A(1) 0

1 x x1 dx 1
0 x0 x1
2
1
1
(4x 3)dx
0
2
A(1) 1

1 x x0 dx 1
0 x1 x0
2
1
(4x
1)dx

1
0
2
故求积公式为
1 f (x)dx 1 [ f ( 1 ) f ( 3)]
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
至少具有 n 次代数精度。
其中
Ak
b
a lk (x)dx
b (x x0 ) (x xk1)(x xk ) (x xn ) dx a (xk x0 ) (xk xk1)(xk xk1) (xk xn )
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
具有m次代数精度的充分必要条件
为该公式对 f ( x) 1, x, , xm
精确成立,而对 f ( x) xm1
不精确成立。
证 记 gk (x) xk , k 0,1,2,, m 1
必要性 设
b
I ( f ) f (x)dx a
我们称由系数式确定 Ak 的数值积分公式① 为插值型求积公式。
(2)插值型求积公式的截断误差与代数精度
记插值型求积公式
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
的截断误差为R[ f ] ,则有
b
n
b
b
R[ f ] f (x)dx a
Ak f (xk ) a f (x)dx a Ln (x)dx
k 0

b
a ( f (x) Ln (x))dx
b a
f (n1) ( )
(n 1)!

n 1
(
x)
dx

其中 n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ), (a,b)
但是,当 f (x) x2 时,
左端=
b x2dx 1 (b3 a3 )
a
3
右端=
b a [a2 b2] 2
左端≠右端
这表明梯形公式 当 f (x) 1, x 时是准确成立的, 当 f(x)的次数高于1时,
梯形公式却不准确地成立。
即梯形公式的代数精度 m=1。
y
y f (x)
1 x2dx 2
1
3
解得 A1

A1

1 3 , A0

4 3

1 f (x)dx 1 f (1) 4 f (0) 1 f (1)
1
3
3
3
该求积公式对f (x) 1, x, x2 都准确成立,
至少具有2次代数精度。
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