第三章 多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-.2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 .3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X5、设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042,20)6(),(y x y x k y x f ，则=k81. 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布.7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则=⎰∞+∞-)(x f X1 .8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 .9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为则βα,应满足的条件是 18=+βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 182 .10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度=),(y x f 22221y x e +-π，Y X Z +=的概率密度)(Z f Z 42x e-.12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,222则 A =__1___。

二、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律.解：031}1,1{⋅===Y X P 31131}2,1{=⋅===Y X P312132}1,2{=⋅===Y X P312132}2,2{=⋅===Y X P2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求),(Y X 的联合分布律.解：X 的可能取值为0,1,2,3Y 的可能取值为0,1,2,3331}0,0{===Y X P333}1,0{===Y X P 3323333}2,0{====C Y X P331}3,0{===Y X P 333}0,1{===Y X P 3323}1,1{⨯===Y X P 3313}2,1{⨯===Y X P 0}3,1{===Y X P 3233}0,2{C Y X P ===333}1,2{===Y X P 0}2,2{===Y X P 0}3,2{===Y X P 331}0,3{===Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P3、设 函 数 F(x , y) = ⎩⎨⎧≤+>+120121y x y x ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。

解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数因 P{0 < ξ ≤ 2， 0 < η ≤1}= F(2 , 1) - F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0)= 1- 1- 1 + 0 =-1 < 0 故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。

4、设⎰+∞=≥01)(,0)(dx x g x g 且，有⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤++=其它,0,0,][)(2),(2222y x y x y x g y x f π 证明：),(y x f 可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。

证明：易验证),(y x f 0≥，又=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(dxdy yx y x g ⎰⎰∞+∞+++02222)(2π＝⎰⎰⎰∞+∞+==0201)()(2dr r g rdr rr g d πθπ符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。

5、在[ 0,π] 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y ，求0){cos(<+Y X P }的值。

解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,0,0,1),(2ππy x y x f ，0){cos(<+Y X P ＝43)232{=<+<ππY X P6、设随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它0,0),()43(y x ke y x f y x(1)确定常数k (2)求),(Y X 的分布函数(3)求}20,10{≤<≤<Y X P解：(1)⎰⎰∞∞+-=0)43(1dx e k dy y x⎰⎰∞∞∞-∞---=-⋅-=0003043412]31[]41[k e e k dx e dy e k x y x y12=∴k (2)⎰⎰--+---⋅==y x y x v u e e dudv e y x F 0043)43()1)(1(1211212),()1)(1(43y x e e ----= 0,0>>y x0),(=y x F(3))2,0()0,1()0,0()2,1(}20,10{F F F F Y X P --+=≤<≤<95021.00)1)(1(83=+--=--e e7、设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其它20,103/),(2y x xy x y x f 求}1{≥+Y X P解：⎰⎰⎰⎰≥+-+==≥+110212)3(),(}1{y x xdy xy x dx dxdy y x f Y X P ⎰=++=10327265)65342(dx x x x8、设随机变量),(Y X 在矩形区域},|),{(d y c b x a y x D <<<<=内服从均匀分布， (1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量Y X ,是否独立？ 解：(1)根据题意可设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,),(dy c b x a My x f⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---===badcc d a b M dy dx M dxdy y x f ))((),(1于是))((1c d a b M --=，故⎩⎨⎧<<<<--=其它0,))(/(1),(dy c b x a c d a b y x f⎰⎰∞+∞--=--==d cX ab c d a b dy dy y x f x f 1))((),()(即⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它1)(b x a ab x f X⎰⎰∞+∞--=--==ba Y cd c d a b dx dx y x f y f 1))((),()(即⎩⎨⎧<<-=其它)/(1)(d y c c d y f Y(2)因为)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=，故X 与Y 是相互独立的.9、随机变量),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=----其它,00,0,3331),(y x y x F y x y x 求：（1）边缘密度；（2）验证X,Y 是否独立。

解：（1）)33(3ln ),(y x xx y x F ----⨯=∂∂，,33ln ),(22yx y x y x F --⨯=∂∂∂ 0,0>>y x .⎩⎨⎧<>⨯=--其它00,033ln ),(2yx y x f y x⎪⎩⎪⎨⎧>⨯=⨯=---+∞⎰其它0033ln 33ln )(20x dy x f x y x X ,⎪⎩⎪⎨⎧>⨯=⨯=---+∞⎰其它00,33ln 33ln )(20y dx x f y y x Y(2) 因为)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=，故X 与Y 是相互独立的.10、一电子器件包含两部分，分别以Y X ,记这两部分的寿命(以小时记)，设),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---其它00,01),()(01.001.001.0y x e e e y x F y x y x(1)问X 和Y 是否相互独立？ (2)并求}120,120{>>Y X P解：(1)⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0001),()(01.0x x e x F x F x X⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0001),()(01.0y y e y F y F yY易证),()()(y x F y F x F Y X =，故Y X ,相互独立. (2)由(1)Y X ,相互独立}]120{1[}]120{1[}120{}120{}120,120{≤-⋅≤-=>⋅>=>>Y P X P Y P X P Y X P 091.0)]120(1)][120(1[42==--=⋅-e F F Y X11、设随机变量(ξ , η)的分布函数为F x y A B arctgxC arctgy(,)()()=++23求：( 1 ) 系数A , B及C的值，( 2 )(ξ , η)的联合概率密度ϕ(x , y)。

解：( 1 )F A B C(,)()()+∞+∞=++=ππ221F A B C(,)()()-∞+∞=-+=ππ22F A B C(,)()()+∞-∞=+-=ππ22由此解得A B C===122ππ,,( 2 ) ϕπ(,)()()x yx y=++64922212、设),(YX相互独立且分别具有下列表格所定的分布律试写出),(YX的联合分布律.解：13、设YX,相互独立，且各自的分布律如下：求Y X Z +=的分布律. 解： ,2,1,0}{===k P k X P k,2,1,0}{===γγγq Y PY X Z +=的分布律为 ,2,1,0}{===-i q P i Z P k i kZ 的全部取值为2,3,4412121}1{}1{}1,1{}2{=⋅========Y P X P Y X P Z P }1,2{}2,1{}3{==+====Y X P Y X P Z P2121212121}1{}2{}2{}1{=⋅+⋅===+===Y P X P Y P X P 412121}2{}2{}2,2{}4{=⋅========Y P X P Y X P Z P14、 X,Y 相互独立，其分布密度函数各自为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=00021)(21x x e x f x X⎪⎩⎪⎨⎧<≥=00031)(3y y ey f yY求Y X Z +=的密度函数.解：Y X Z +=的密度函数为⎰∞+∞--=dx x Z f x f Z f Y X Z )()()(，由于)(x f X 在0≥x 时有非零值，)(x Z f Y -在0≥-x Z 即Z x ≤时有非零值， 故)()(x Z f x f Y X -在Z x ≤≤0时有非零值⎰⎰-----=⋅=Z Z xZ x Z xZ dx e edx e e Z f 06332613121)( )1(][6363Z ZZ x Z ee e e -----=-=当0≤Z 时，0)(=Z f。