xxx x 函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
y =1例1. 求函数x 的值域。
解：∵x ≠ 01≠ 0∴x显然函数的值域是：(-∞,0) (0,+∞)例2. 求函数y = 3 -的值域。
解 ：∵ ≥ 0∴-≤ 0,3 -≤ 3故函数的值域是：[-∞,3]2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数y = x 2- 2x + 5, x ∈[-1,2]的值域。
解：将函数配方得：y = (x - 1) 2+4∵x ∈[-1,2]由二次函数的性质可知：当x=1 时，y min = 4 ，当x =-1时，y max = 8故函数的值域是：[4，8]3.判别式法例4. 求函数y =1 + x + x21 + x2的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程(y - 1)x 2+ (y - 1)x = 0（1）当y ≠ 1时，x ∈R∆= (-1) 2- 4(y - 1)(y - 1) ≥ 01≤ y ≤3解得：2 21∈⎡1,3 ⎤（2）当y=1 时，x = 0 ，而⎢⎣2 2 ⎥⎦⎡ 1 , 3 ⎤ 故函数的值域为⎢⎣ 2 2 ⎥⎦例5. 求函数y = x + 的值域。
解：两边平方整理得：2x 2 - 2(y + 1)x + y 2 = 0 （1） ∵x ∈R∴∆ = 4(y + 1) 2 - 8y ≥ 0 解得：1 - ≤ y ≤ 1 + 但此时的函数的定义域由x(2 - x) ≥ 0 ，得0 ≤ x ≤ 2由∆ ≥ 0 ，仅保证关于x 的方程：2x 2 - 2(y + 1)x + y 2= 0 在实数集R 有实根， 而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由⎡ 1 , 3 ⎤ ∆ ≥ 0 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎣⎢ 2 2 ⎥⎦。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵0 ≤ x ≤ 2∴y = x + ∴y min = 0, y = 1 +x 1 = ≥ 0代入方程（1） ∈[0,2]解得：2 + 即当x 1 =2 - 24 22时，原函数的值域为：[0,1 + 2 ]注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时， 应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。
3x + 4例6. 求函数5x + 6 值域。
x =4 - 6y 解：由原函数式可得： y =4 - 6y5y - 3x ≠ 3则其反函数为： 5x - 3 ，其定义域为： 5x(2 - x) 2 2x(2 - x) 2 2 + 2 - 242 2y 2+1 y 2+1⎢ ⎛-∞,3 ⎫⎪故所求函数的值域为：⎝ 5 ⎭5.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
e x- 1例7. 求函数y =e x+ 1 的值域。
e x =y + 1解：由原函数式可得：∵e x> 0y + 1> 0∴y - 1解得：- 1 < y < 1故所求函数的值域为(-1,1)y - 1例8. 求函数y =cos xsin x - 3 的值域。
解：由原函数式可得：y sin x - cos x = 3y ，可化为： y2+ 1 sin x(x +β) = 3ysin x(x +β) =3y即∵x ∈R∴sin x(x +β) ∈[-1,1]-1 ≤3y≤1即- 解得：2≤y ≤24 4⎡-2,2 ⎤⎢⎥故函数的值域为⎣ 4 4 ⎦6.函数单调性法例9. 求函数y = 2x-5+ log3解：令y1 = 2x-5 , y 2 = log3x - 1(2 ≤ x ≤ 10) 的值域。
则y1 , y 2 在[2，10]上都是增函数x -12 - 1 x + 1 2 x - 1 ⎦所以y = y 1 + y 2 在[2，10]上是增函数当x=2 时，ymin= 2-3 + log 3 = 8当x=10 时，y max = 25+ log 3 ⎡1 = 33⎤ 故所求函数的值域为： ⎢⎣8 ,33⎥例10. 求函数y = - y =解：原函数可化为： 的值域。
令y 1 = x + 1, y 2 = ，显然y 1 , y 2 在[1,+∞] 上为无上界的增函数 所以y = y 1 ，y 2 在[1,+∞] 上也为无上界的增函数=所以当x=1 时，y = y 1 + y 2 有最小值，原函数有最大值 显然y > 0 ，故原函数的值域为(0, 2 ]7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一， 在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数y = x + 解：令x - 1 = t ，(t ≥ 0) 则x = t 2 + 1y = t 2 + t + 1 = (t + 1 ) 2 + 3的值域。
∵ 2 4又t ≥0 ，由二次函数的性质可知当t = 0 时，y min = 1当t → 0 时，y → +∞故函数的值域为[1,+∞)例12. 求函数y = x + 2 + 解：因1 - (x + 1) 2 ≥ 0 即(x + 1) 2 ≤ 1故可令x + 1 = cos β, β∈[0, π]的值域。
9 x - 1 2x + 1 + x - 1x - 1 2 2 2 1 - (x + 1) 21∴y = cos β + 1 += sin β + cos β + 1= 2 sin(β + π) + 140 ≤ β ≤ π,0 ≤ β + π ≤ 5π∵4 4∴-2 ≤ sin(β + π) ≤ 1 2 ∴0 ≤42 sin(β + π) + 1 ≤ 1 + 4故所求函数的值域为[0,1 +2 ]例13. 求函数y =x 3 - xx 4 + 2x 2 + 1 的值域。
1 2x 1 - x2 解：原函数可变形为：y = 2 ⨯ 1 + x 2 ⨯1 + x2 2x可令x = tg β ，则有1 + x 2= sin 2β, 1 - x 2 1 + x 2 = cos 2β∴y = - 1 sin 2β ⨯ cos 2β = - 1sin 4β2 β = k π -π 4y = 1当 2 8 时， max 4β = k π +π y = - 1当 2 8 时， min 4而此时tan β 有意义。
⎡- 1 ,1 ⎤ 故所求函数的值域为⎢⎣ 4 4 ⎥⎦x ∈ ⎡- π , π⎤例14. 求函数y = (sin x + 1)(cos x + 1) ， 解：y = (sin x + 1)(cos x + 1)= sin x cos x + sin x + cos x + 1⎣⎢ 12 2 ⎥⎦ 的值域。
sin x cos x = 1(t 2 - 1)令sin x + cos x = t ，则2y = 1 (t 2 - 1) + t + 1 = 1(t + 1) 22 2由t = sin x + cos x = 2 sin(x + π / 4)x ∈ ⎡- π , π⎤且 ⎢⎣ 12 2 ⎥⎦1 - cos2 β 22 (x - 2) 2 (x + 8) 2 x 2 - 6x + 13 x 2 + 4x + 5 ⎢ 4可得： 2≤ t≤ 2y= 3 +t = 2y = 3 + 2 ∴当t = 时， max 2，当 2 时， 4 2 ⎡ 3 +2 , 3+ 2 ⎤ ⎢ ⎥ 故所求函数的值域为⎣2 2 ⎦ 。
例15. 求函数y = x + 4 + 解：由5 - x 2 ≥ 0 ，可得| x |≤ 的值域。
故可令x = 5 cos β, β∈[0, π]y = 5 cos β + 4 +5 sin β = 10 sin(β + π) + 44∵0 ≤ β ≤ π∴ π≤ β + 4π ≤ 5π4 4 当β = π / 4 时，y max = 4 + 当β = π 时，y min = 4 - 故所求函数的值域为：[4 -5,4 +10 ]8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直 线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然， 赏心悦目。
例16. 求函数y =+ 的值域。
解：原函数可化简得：y =| x - 2 | + | x + 8 | 上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B(-8)间的距离之和。
由上图可知，当点P 在线段AB 上时，y =| x - 2 | + | x+ 8 |=| AB|= 10当 点 P 在 线 段 AB 的 延 长 线 或 反 向 延 长 线 上 时 ，y =| x - 2 | + | x + 8 |>| AB|= 10故所求函数的值域为：[10,+∞]例17. 求函数y = + 的值域。
5 22 5 - x 2 10 5(x - 3) 2 + (0 - 2) 2 (3 + 2) 2 + (2 + 1) 2 43 x 2 - 6x + 13 (3 + 2) 2 + (2 - 1) 2 解：原函数可变形为：y =+ 上式可看成x 轴上的点P(x,0) 到两定点A(3,2), B(-2,-1) 的距离之和， 由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 ， y min =| AB|= = ， 故所求函数的值域为[43,+∞]例18. 求函数y = - 解：将函数变形为：y = 的值域。
- 上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点B(-2,1) 到点P(x,0) 的距离之差。
即：y =| AP | - | BP | 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点 P' ， 则构成 ∆ABP' ， 根据三角形两边之差小于第三边， 有|| AP'| - | BP'||<| AB|= = 即：- < y < （2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有|| AP | - | BP ||=| AB|= 综上所述，可知函数的值域为：(- 26, 26 ]注：由例17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17 的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1) ，在x 轴的同侧；例18 的A ，B 两点坐标分别为（3，2），(2,-1) ，在x 轴的同侧。