8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．ODC BA（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．【模型实例】观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FD CBAE EBCDA图③21O ABE图④G F 12AB E（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDC BAEE312图⑤P OQA BF C D图⑥21EDCFOBA【练习】1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ；图图①OOEEDDCCBBAA（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．图②OEDCBA2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ ．HGFEDCBA模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．ADC图①4321AD 图②4321AD（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 【模型实例】如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．MAB2143MBA练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .E 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA模型3 边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．B CA【模型实例】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。

求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD；(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.B模型4 边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.B【模型实例】如图，点O 为三角形内部一点．求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC ；(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.BB【练习】观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．(1)如图①，△ABC 中，P 为边BC 一点，请比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由．(2)如图②，将(1)中的点P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．(3)图③将(2)中的点P 变为两个点1P 、2P ，请比较四边形12BPP C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由.P 2P 1BCCB CB P三角形的折角模型一、三角形的折角模型：三角形某角折叠后在三角形内所产生的角度等量关系 条件：ABC ∆沿DE 折叠使A ∠在三角形内二、三角形某角折叠后在三角形外所产生的角度等量关系 条件：ABC ∆沿DE 折叠使A ∠在三角形外三、三角形某角折叠后在三角形外所产生的角度等量关系 条件：ABC ∆沿DE 折叠使A ∠在三角形外1．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 和AC 上的点，将△ABC 纸片沿DE 折叠，点A 落到点F 的位置．如果DF ∥BC ，∠B ＝60°，∠CEF ＝40°，则∠F ＝ ．2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上一点，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上．若∠A ＝55°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 度．3．（1）如图①，把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 内部点A ′的位置．试写出∠A 与∠1+∠2之间的关系，并说明理由；（2）如果把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 外部点A ′的位置，如图②所示．此时∠A 与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出 ．（3）如果把四边形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在四边形BCFE 内部点A ′、D ′的位置，如图③所示．直接写出∠A ′、∠D ′、∠1与∠2之间的关系 ．三角形的角平分线模型一、三条内角角平分线的交点与两个顶点连线的夹角=21900剩余角 条件：BP 、CP 是任意△ABC 中∠B 、∠C 的角平分线结论：二、外角平分线所成夹角=21剩余角 条件：B D 是∠A BC 的角平分线,CD 是△A BC 的外角平分线结论：三、两个角的外角平分线的交点与这两个角的顶点连线的夹角=21900剩余角 条件：已知△ABC 的∠B 和∠C 的外角平分线交于D结论： 【练习】1．如图,在三角形A BC 中,∠A=42°,∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别交于D 、E, 求∠BDC 的度数2．如图，在△ABC 中，∠A ＝α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2，…，∠A 2013BC 的平分线与∠A 2013CD 的平分线交于点A 2014，得∠A 2014CD ，则∠A 2014＝ ．4．如图，BP 、CP 是任意△ABC 中∠B 、∠C 的角平分线，可知∠BPC ＝90°+∠A ，把图中的△ABC 变成图中的四边形ABCD ，BP ，CP 仍然是∠B ，∠C 的平分线，猜想∠BPC 与∠A 、∠D 的数量关系是 ．平行倒角【模型实战】阅读材料：如图1，若//AB CD ，则B D BED ∠+∠=∠．理由：如图，过点E 作//EF AB ，则B BEF ∠=∠．因为//AB CD ， 所以//EF CD ，所以D DEF ∠=∠，所以BED BEF DEFB D =+=+∠∠∠∠∠．交流：（1）若将点E 移至图2所示的位置，//AB CD ，此时B 、D ∠、E ∠之间有什么关系？请说明理由．探究：（2）在图3中，//AB CD ，E G +∠∠、B F D ++∠∠∠又有何关系？应用：（3）在图4中，若//AB CD ，又得到什么结论？请直接写出该结论．由简单图形到复杂图形的演变1．已知：如左图，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如右图，在左图的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：（1）在左图中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系： ； （2）在右图中，若∠D ＝50°，∠B ＝40°，试求∠P 的度数；（写出解答过程）（3）如果右图中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间数量关系．（直接写出结论）2．（2019春•常熟市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．3．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．4．（2019春•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝60°．（1）如图1，若∠ADC和∠ABC的平分线交于点O，求∠BOD的度数；（2）如图2，若∠ABC的平分线与四边形ABCD的外角∠EDC的平分线交于点P，求∠BPD的度数；（3）如图3，若DG、BH分别是四边形ABCD的外角∠CDE、∠CBF的平分线，判断DG与BH是否平行，并说明理由．5．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F．试说明∠AEF＝∠AFE；（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．6．如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．（1）若∠F＝70°，则∠ABC+∠BCD＝°；∠E＝°；（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，所添加的条件为．。