解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1 是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E． ∵∠2 是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B＋∠D．
1
Wang
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．
（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
A
A
B
E
B
C
F
C
D
图①
求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD； (2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.
A D
O
B
C
证明：(1)∵AB+BC>AC①， CD+AD>AC②， AB+AD>BD③， BC+CD> BD④
6
Wang
由①+②+③+④得： 2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD). 即 AB+BC+CD+AD >AC+BD. (2) ∵AD<OA+OD① ，BC<OB+OC②， 由①+②得： AD+BC< OA+OD+OB+OC．
解法二：
3
Wang
模型 2：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．
A A
A
12
D B
模型分析
B C
D 34
图①
1 CB 2
D 图②
3 4C
解法一：如图①，作射线 AD．
∵∠3 是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4 是△ACD 的外角，∴∠4＝∠
C＋∠2
∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠
如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．结论 AC+BD>AD+BC． A
D
O
B
C
模型分析 ∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②， 由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.
模型实例 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。
＝
．
E
F
D
C G
H A B
解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2， ∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
1．如图，在△ABC 中，D、E 在 BC 边上，且 BD=CE。求证：AB+AC>AD+AE.
7
Wang
A
B
D
E
C
【答案】 证法一：如图①，将 AC 平移至 BF，AD 延长线与 BF 相交于点 G，连接 DF。 由平移可得 AC=BF ，∵AC∥BF ，∴∠ACE=∠BFD ，∵BD=CE ∴△AEC≌△FDB ，∴DF=AE 如图，延长 AD 交 BF 于点 G，∵AB+BF=AB+BG+GF. ∵AB+BG>AG， ∴AB+BF>AG+GF① ，∵AG+GF=AD+DG+GF， ∵DG+GF>DF， ∴AG+GF>AD+DF② ，由①②可得：AB+BF>AD+DF.（飞镖模型） ∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE. ∴AB+AC>AD+AE.
Wang
D
105°
A
C
115°
BA
D
2
1 105°
C
115° 4 3
B
【答案】220° 提示：如图所示，连接 BD. ∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C， ∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º
模型 3 边的“8”字模型
∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． （1）因为这个图形像数字 8，所以我们往往把这个模型称为 8 字模型． （2）8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
∴AD+BC<AC+BD.（边的 8 字模型）， 同理可证：AB+CD <AC+BD. ∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD.
模型 4 边的飞镖模型
如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.
A
A
D
DE
B
CB
C
模型分析 如图，延长 BD 交 AC 于点 E。 ∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+A C>BE+EC.① ，∵BE+EC=BD+DE+EC， DE+EC> CD，∴BE+EC>BD+CD. ② ，由①②可得：AB+AC>BD+CD.
B＋∠C
解法二：如图②，连接 BC．
∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4）
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4）
∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3.
（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．
（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．
模型实例
如图，在四边形 ABCD 中，AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，AM 与 CM 交
于 M，探究∠AMC 与∠B、∠D 间的数量关系．
4
Wang
A
A
1
D
D
B
M
3M B
4
2
C
C
解答：利用角的飞镖模型
如图所示，连接 DM 并延长．∵∠3 是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM，
∵∠4 是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB
＋∠F
＝360°．（四边形内角和为 360°）
练习：
1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝
；
E A
A
E
B
O
B
O
C
D C
图①
D 图②
解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180°
3．③
由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360
°．
解法二：利用角的 8 字模型．如图⑥，连接 DE．∵∠AOE 是△AOB 的外角，
∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE．
∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的 8 字模型）
模型实例 如图，点 O 为三角形内部一点． 求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC； (2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.
A
A
O
E
O
B
CB
C
证明：(1)∵OA+OB>AB①， OB+OC>BC②， OC+OA>AC③ 由①+②+③得： 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC
模型实例
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
A
A
A
B
E
E
B
B C
C
D
F E C 1 O 2 DD
图①
图图②③
A
F 12 G E B
C
D
图④
解法一：利用角的 8 字模型．如图③，连接 CD．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC． ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的 8 字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋ ∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．
Wang
8 字模型与飞镖模型
模型 1：角的 8 字模型 如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC． ∠C．
结论：∠A＋∠D＝∠B＋
A D
O
B
C
模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． 证法二：