l
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
5
3 广义力
Y
l
al
l
y
ln l ln(1 e l )
l
1 ln 1
y
y
l
l ln(1 e l )
l
l
e l (1) 1 e l
热统
1
§8.1 热力学量的统计表达
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
al le l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l 0
e l
l
al ea
l
l
l
e l 1
U lal
l
l
ll
e l 1
l (1 e l )l
l
l
对比玻耳兹曼分布
热统
ln l ln(1 e l )
l
Z1
e l l
l 0
3
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
l
l
l
e l 1
ln l ln(1 e l )
al
ln(l
al
al
))
热统
k ln B.E 10
对于费米分布
F.D
l
l ! al !(l al )!
ln F.D l lnl al lnal (l al ) ln(l al )
l
l
l
S k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
y
d(
ln)
*
ln d
*
ln dy d(
ln)
*
ln d
y
d( ln ) d( ln ) d(l*n )
d(ln ln ln )
TdS
热统
7
(dU Ydy d N ) d(ln ln ln ) TdS
1
kT
kT
熵 dS kd (ln ln ln )
0
N
g(
2m kT
h2
)3
/
2Ve
(1
1 23/ 2
e )
热统
14
内能
U D( )a( ) d 0
3 2
g
(
2mk
h2
T
)3
/
2Ve
k
T(1
1 25/ 2
S k(ln ln ln )
S k(ln U N )
U ln
N ln
与玻耳兹曼关系比较 S k ln
热统
8
对于玻色分布
B.E
l
(l al 1)! al!(l 1)!
ln B.E (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
总粒子数
6.2.17式
N
0
D( )a( )d
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
1/ 2d
e l 1
g 2V (2m)3/ 2 e 1/ 2 l (1me l )d
h3
0
g
2V
h3
(2m)3/ 2 e (
1/ 2e l d
0
1/ 2e 2 l d )
l
l
l
S k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
热统
9
al
l
e l
1
l 0
e N Z1
Z1
V
(
2m h2
)3
/
2
e
V N
(
2m kT
h2
)3
/
2
1
e N ( h2 )3/2 n3 1 V 2 mkT
热统
2
不满足非简并条件
开放系统，与源达到动态平衡，粒子数在能级上的平均分布。
采用玻色分布或费米分布
al
l
e l
1
二、巨配分函数
费米统计 玻色统计
N al
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
l
热统
11
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l )llFra biblioteklnl
ln
l ln(1 e l )
l
l
l
e l (1) 1 e l
l
l
e l 1
N ln
N
对比玻耳兹曼分布
N Z1e
热统
4
2 内能
U lal
l
l
ll e l 1
ln l ln(1 e l )
l
ln
l ln(1 e l )
l
y
l
l l
e l 1 y
l
al
l
y
Y
Y 1 ln
y
对比玻耳兹曼分布 Y N 1 ln Z1 y
压强
p 1 ln
V
p N ln Z1
V
热统
6
4 其它热力学函数
由开系的热力学公式 dU Ydy dN TdS
(dU Ydy d N ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
l l
al
U lal N al
U N
lal
aal
al (a l )
al
ln(l
al
al
)
S k(ln U N ) k(
l
ln l l al
al
ln(l
al
al
))
k ln F.D
热统
12
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可 区分。但当粒子在空间可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分 粒子系统的理论－玻耳兹曼统计－描述。
al
l
e l
1
一、 弱简并气体
e 1
al l e l e 虽小但不可忽略
1
1
e l 1 e l (1 e l )
1 1 e l
1me l
al
l
e l
1
le l (1 me l )
1 1 ex
1 ex
e2x
热统
13
考虑平动
p2
2m
粒子微观状态数
D(
)d
g
2V
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l ) l
l
ln
l l
al
U lal
N al
U N
lal
aal
al (a l )
al
ln(l
al
al
)
S k(ln U N ) k(
l
ln l l al