难点40 探索性问题高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.1.（★★★★）已知三个向量a 、b 、c ，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a ｜=3, ｜b ｜=2,｜c ｜=1，则a 用b 、c 表示为 .2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？［例1］已知函数1)(2++=ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数）是奇函数，f (x )有最大值21，且f (1)＞52. （1）求函数f (x )的解析式；（2）是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.错解分析：不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；忽视b 为自然数而导致求不出b 的具体值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解.技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.解：（1）∵f (x )是奇函数 ∴f (–x )=–f (x )，即1122++-=++-ax cbx ax c bx ∴–bx +c =–bx –c ∴c =0 ∴f (x )=12+ax bx由a ＞0，b 是自然数得当x ≤0时，f (x )≤0， 当x ＞0时，f (x )＞0∴f (x )的最大值在x ＞0时取得. ∴x ＞0时，22111)(b abxx b a x f ≤+=当且仅当bxx b a 1=即ax 1=时，f (x )有最大值21212=b a ∴2ba=1,∴a =b 2 ① 又f (1)＞52，∴1+a b ＞52,∴5b ＞2a +2 ②把①代入②得2b 2–5b +2＜0解得21＜b ＜2又b ∈N ,∴b =1,a =1,∴f (x )=12+x x（2）设存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于点（1，0）对称，P (x 0,y 0)则Q （2–x 0,–y 0)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+02000201)2(21y x x y x x ,消去y 0，得x 02–2x 0–1=0解之，得x 0=1±2, ∴P 点坐标为(42,21+)或(42,21--)进而相应Q 点坐标为Q （42,21--） 或Q (42,21+). 过P 、Q 的直线l 的方程：x –4y –1=0即为所求.［例2］如图，三条直线a 、b 、c 两两平行，直线a 、b 间的距离为p ，直线b 、c 间的距离为2p，A 、B 为直线a 上两定点，且｜AB ｜=2p ，MN 是在直线b 上滑动的长度为2p 的线段.（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN 的外心C 的轨迹E ； （2）接上问，当△AMN 的外心C 在E 上什么位置时，d +｜BC ｜最小，最小值是多少？（其中d 是外心C 到直线c 的距离）.命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C 点位置需要一番分析.技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C 所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.解：（1）以直线b 为x 轴，以过A 点且与b 直线垂直的直线为y 轴建立直角坐标系.设△AMN 的外心为C (x ,y )，则有A (0,p )、M （x –p ,0)，N (x +p ,0)， 由题意，有｜CA ｜=｜CM ｜∴2222)()(y p x x p y x ++-=-+,化简，得 x 2=2py它是以原点为顶点，y 轴为对称轴，开口向上的抛物线. （2）由（1）得，直线C 恰为轨迹E 的准线. 由抛物线的定义知d =｜CF ｜，其中F （0,2p）是抛物线的焦点. ∴d +｜BC ｜=｜CF ｜+｜BC ｜由两点间直线段最短知，线段BF 与轨迹E 的交点即为所求的点 直线BF 的方程为p x y 2141+=联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=pyx p x y 221412得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.16179)171(41p y p x . 即C 点坐标为(p p 16179,4171++). 此时d +｜BC ｜的最小值为｜BF ｜=p 217.如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊.一、选择题1.（★★★★）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是( )①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β A.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④2.（★★★★）某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票( )A.7张B.8张C.9张D.10张 二、填空题3.(★★★★)观察sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°=43,sin 215°+cos 245°+sin15°·cos45°=43，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 .三、解答题 4.（★★★★）在四棱锥P —ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，问底面的边BC 上是否存在点E .（1）使 ∠PED =90°；（2）使∠PED 为锐角.证明你的结论.5.（★★★★★）已知非零复数z 1,z 2满足｜z 1｜=a ,｜z 2｜=b ,｜z 1+z 2｜=c （a 、b 、c 均大于零），问是否根据上述条件求出12z z ？请说明理由. 6.（★★★★★）是否存在都大于2的一对实数a 、b (a ＞b )使得ab ,ab,a –b ,a +b 可以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a 、b 的值，若不存在，说明理由.7.（★★★★★）直线l 过抛物线y 2=2px (p ＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A 、B 直线l 能否平分线段AB ？试证明你的结论.8.（★★★★★）三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？参 考 答 案●难点磁场1.解析：如图–a 与b ，c 的夹角为60°,且|a |=|–a |=3. 由平行四边形关系可得–a =3c +23b ,∴a =–3c –23b . 答案：a =–3c –23b 2.解析：飞机成功飞行的概率分别为：4引擎飞机为：4222443342224)1(4)1(6C )1(C )1(C P P P P P P P P P P +-+-=+-+-2引擎飞机为222212)1(2C )1(C P P P P P P +-=+-⋅. 要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有：6P 2（1–P ）2+4P 2（1–P ）+P 4≥2P (1–P )+P 2,解得P ≥32. 即当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.●歼灭难点训练一、1.解析：①l ⊥α且α∥β⇒l ⊥β,m ⊂β⇒l ⊥m . ②α⊥β且l ⊥α⇒l ∥β,但不能推出l ∥m . ③l ∥m ,l ⊥α⇒m ⊥α,由m ⊂β⇒α⊥β. ④l ⊥m ,不能推出α∥β. 答案：B2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张. 答案：B二、3.解析：由50°–20°=(45°–15°)=30°可得sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=43. 答案：sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=43三、4.解：(1)当AB ≤21AD 时，边BC 上存在点E ，使∠PED =90°;当AB >21AD 时，使∠PED =90°的点E 不存在.（只须以AD 为直径作圆看该圆是否与BC 边有无交点）（证略）（2）边BC 上总存在一点，使∠PED 为锐角，点B 就是其中一点.连接BD ，作AF ⊥BD ，垂足为F ，连PF ，∵P A ⊥面ABCD ，∴PF ⊥BD ，又△ABD 为直角三角形，∴F 点在BD 上，∴∠PBF 是锐角.同理，点C 也是其中一点.5.解：∵|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=|z 1|2+|z 2|2+(z 12z +1z z 2) ∴c 2=a 2+b 2+(z 12z +1z z 2) 即：z 12z +1z z 2=c 2–a 2–b 2 ∵z 1≠0,z 2≠0，∴z 12z +1z ·z 2=12112221z z z z z z z z +=|z 2|2(21z z )+|z 1|2(12z z ) 即有：b 2(21z z )+a 2(12z z)=z 1z 2+z 1z 2 ∴b 2(21z z )+a 2(12z z)=c 2–a 2–b 2 ∴a 2(12z z )2+(a 2+b 2–c 2)(12z z )+b 2=0 这是关于12z z 的一元二次方程，解此方程即得12z z的值. 6.解：∵a >b ,a >2,b >2,∴ab ,a b ,a –b ,a +b 均为正数，且有ab >a +b >ab,ab >a +b >a –b .假设存在一对实数a ,b 使ab ,ab,a +b ,a –b 按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是单调数列.不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即①ab ,a +b , a –b ,a b ,或②ab ,a +b ,a b ,a –b 由（a +b ）2≠ab ·ab所以②不可能是等比数列，若①为等比数列，则有：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-+-=+22710257 ))(()()(2b a a b ab b a b a b a ab b a 解得 经检验知这是使ab ,a +b ,a –b ,ab成等比数列的惟一的一组值.因此当a =7+25,b =22710+时，ab ,a +b ,a –b ,ab成等比数列. 7.解：如果直线l 垂直平分线段AB ，连AF 、BF ，∵F （2p，0）∈l .∴|F A |=|FB |,设 A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),显然x 1>0,x 2>0,y 1≠y 2,于是有（x 1–2p ）2+y 12=(x 2–2p)2+y 22,整理得：（x 1+x 2–p )(x 1–x 2)=y 22–y 12=–2p (x 1–x 2).显然x 1≠x 2(否则AB ⊥x 轴，l 与x 轴重合，与题设矛盾）得：x 1+x 2–p =–2p 即x 1+x 2=–p <0,这与x 1+x 2>0矛盾，故直线l 不能垂直平分线段AB .8.解：设元件T 1、T 2、T 3能正常工作的事件为A 1、A 2、A 3，电路不发生故障的事件为A ，则P （A 1）=0.7，P （A 2）=0.8，P （A 3）=0.9.（1）按图甲的接法求P （A ）：A =（A 1+A 2）·A 3，由A 1+A 2与A 3相互独立，则P （A ）=P （A 1+A 2）·P （A 3）又P （A 1+A 2）=1–P （21A A +）=1–P （1A ·2A ）由A 1与A 2相互独立知1A 与2A 相互独立，得：P （1A ·2A ）=P （1A ）·P （2A ）=［1–P （A 1）］·［1–P （A 2）］=（1–0.7）×(1–0.8)=0.06，∴P (A 1+A 2)=0.1–P (1A ·2A )=1–0.06=0.94，∴P (A )=0.94×0.9=0.846.(2)按图乙的接法求P （A ）：A =（A 1+A 3）·A 2且A 1+A 3与A 2相互独立，则P （A ）=P （A 1+A 3）· P （A 2），用另一种算法求P （A 1+A 3）.∵A 1与A 3彼此不互斥，根据容斥原理P （A 1+A 3）= P （A 1）+P （A 3）–P （A 1A 3），∵A 1与A 3相互独立，则P （A 1·A 3）=P （A 1）·P （A 3）=0.7×0.9=0.63,P (A 1+A 3)=0.7+0.9–0.63=0.97.∴P (A )=P (A 1+A 3)·P (A 2)=0.97×0.8=0.776.(3)按图丙的接法求P （A ），用第三种算法. A =（A 2+A 3）A 1=A 2A 1+A 3A 1,∵A 2A 1与A 3A 1彼此不互斥，据容斥原理，则P （A ）=P （A 1A 2）+P （A 1A 3）–P （A 1A 2A 3），又由A 1、A 2、A 3相互独立，得P （A 1·A 2）=P （A 1）P （A 2）=0.8×0.7=0.56,P (A 3A 1)=P (A 3)·P (A 1)=0.9×0.7=0.63,P (A 1A 2A 3)=P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)=0.7×0.8×0.9=0.504, ∴P (A )=0.56+0.63–0.504=0.686. 综合（1）、（2）、（3）得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为0.846,0.776,0.686.故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.。