第二十四讲 探索性问题【趣题引路】一个圆形街心花园,有三个出口A 、B 、C,如图1,•每两个出口之间有一条60m 长的道路,组成正三角形ABC.在中心点还有一个亭子,为使亭子与原有的道路相通,•需要修三条小路OD,OE,OF,使另一出口D 、E 、F 分别落在△ABC 的三边上,•且这三条小路把△ABC 分成三个全等的多边形,以备种植不同品种的花草.(1)请你按以上要求设计两种不同的方案,将设计方案分别画出来,•并附简单说明;(2)要使三条小路把△ABC 分成三个全等的等腰梯形,应怎样设计?•请把方案画出来,并求此时三条小路的总长;(3)请你探索出一种一般方法,使得出口D•不论在什么位置都能准确地找到另外两个出口E 、F 的位置,请写明方法;(4)你在(3)中探究出一般方法适用于正五边形吗?这种方法可以推广到正n•边形吗?（1） (2) (3) (4) 解析 (1)方案1 D 、E 、F 分别与A 、B 、C 重合,连结OD 、OE,OF,•得三条小路OD 、OE 、OE.如图2.方案2 OD 、OE 、OF 分别垂直于D,E,F 得OD,OE,OF,如图3.(2)如图4,三条小路OD 、OE 、OF 分别与AC 、AB 、BC 平行,•得到三个全等的等腰梯形;作OM ⊥BC 于M,连结BO,则OE=sin 60OM=20,又OE=OF=OD. ∴OE+OF+OD=3·OE=60.即3条小路OD,OE,OF 总长为60.(3)方案1 在BC 、CA 上分别截取BE=CF=AD,连结OD 、OE 、OF•即得三条小路如图5.方案2 连OD,将OD 逆时针旋转120°交BC 于E,再逆时针旋转120°交AC 于F•即得3条小路,如图5.(4)在正五边形A 1A 2A 3A 4A 5中,设M 1为A 1A 2上任意一点,•在各边上分别截取A 2M 2=A 3M 3=A 4M 4=A 5M 5=A 1M 1,连结OM 1、OM 2、OM 3、OM 4、O M 5即可得5条小路,从而可进一步推广到正n 边形.(5)【知识延伸】探索性问题有别于通常的问题(常规问题).•如果把一个题目的系统分成已知条件,解题依据,解题方法和结论四个要素,•那么探索性问题往往只有其中的两个要素,以解题过程来看,较少现成的法则和套路,较多分析、探索与创造.解决此类问题要求我们能综合运用观察、分析、分类、类比、转译、化归、特殊化、一般化、反证法以及数形结合甚至猜想等数学思想和方法.探索性问题归纳有四种题型:(1)探索题设下的图形或数量之间的关系;(2)•探索解决问题的方法;(3)探索图形具备某性质或关系的条件或结论;(4)探索改变题设条件后结论是否变化.例1 如图,⊙O为等腰梯形ABCD的内切圆,M、N、P分别为⊙O与AB、CD、•BC的切点.试尽可能多地找出其中图形的形状和大小之间所存在的各种关系.解析 (1)角的相等:∠A=∠ABC,∠BCD=∠D;∠MBO=∠PBO;∠MOB=∠POB;∠MBO=∠COP等.(2)角的互补:∠A+∠D=180°;∠ABC+∠BCD=180°.(3)角的互余:∠MBO+∠MOB=90°;∠BOP+∠COP=90°等.(4)线段的垂直:OM⊥AB;ON⊥CD:OP⊥BC;OB⊥OC.(5)共线点:N、O、M三点在一条直线上.(6)线段的相等:BM=PB=MA;CN=CP=ND;OP=OM=ON;BC=BM+CN;AB+CD=AD+BC=2AD.(7)三角形全等:△MBO≌△PBO;△NOC≌△POC.(8)三角形相似:△OCB∽△MOB(或△PBO)∽△NOC(或△PCO).(9)比例线段:通过相似三角形对应边成比例,可找到多组成比例线段关系.(10)作为比例中项的线段:OP是BP与CP的比例中项,也是MB与NC的比例中项;•MN是AB与CD的比例中项;OB是MB与BC的比例中项;OC是NC与BC的比例中项.点评解此问题时最好要有条理性,先从某个角度进行分析,•待不能再挖掘出新的对等或成比例的关系后,应及时地换一个角度再思考.例2如图,EB是⊙O的直径,且EB=6.在BE的延长线上,取点P,使EP=EB.A•是PE上一点,过A作⊙O的切线AD,切点为D.过D作DF⊥AB于点F,过B作AD的垂线BH,•交AD的延长线于点H.连结ED和FH.(1)若AE=2,求AD的长;(2)当点A在EP上移动(点A不与点E重合)时,①是否总有AD EDAH FH?试证明你的结论.②设ED=x,BH=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.解析 (1)∵AD 切⊙O 于D,AE=2,EB=6,∴AD 2=AE ·AB=2×(2+6)=16. ∴AD=4;(2)①无论点A 在EP 上怎么移动(点A 不与点E 重合),总有AD ED AH FH=. 证明 连结BD,交FH 于G.∵AH 是⊙O 的切线,D 为切点,∴∠3=∠4.又∵BH ⊥AH,•BE 为直径,∴∠BDE=90°,∴∠1=90°-∠3=90°-∠4=∠2.在△DFB 和△DHB 中,•∠DHB=90°,∠1=∠2,DB=DB,∴△DFB ≌△DHB.∴BF=BH.∴△BHF 是等腰三角形.∵∠1=•∠2,∴BG ⊥FH,即BD ⊥FH.∵BD ⊥DE,∴ED ∥FH,∴AD ED AH FH=. ②设ED=x,BH=y,BE=6,BF=BH,∴EF=6-y.∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高,∴△DFE ∽△BDE, ∴EF ED ED EB=,即ED 2=EF ·EB. ∴x 2=6(6-y),即y=-16x 2+6. ∵点A 不与点E 重合,∴ED=x>0,当点A 从点E 向左移动,ED 逐渐增大,A 和P 重合时,ED 最大,这时,连结OD,•则OD•⊥PH,∴OD ∥BH.又∵PO=PE+EO=6+3=9,PB=12,OD PO BH PB =,BH=OD PB PO=4, ∴BF=BH=4.EF=EB-BF=6-4=2.由ED 2=EF ·EB,得x 2=2×6=12.∵x>0,∴,∴0<x ≤.故所求的函数关系式为y=-16x 2+6,自变量x 的取值范围是0<x ≤点评此题根据动点,建立有关函数关系,揭示了函数的本质;•函数是研究运动变化的两个变量间的关系问题,此题第(2)题的第①小题是一个结论探索问题,•它要求先探索出结论,再证明出结论成立.在实际问题中,建立的函数关系式,•必须注意求出自变量的取值范围,即使题目中没有明确提出这个要求.【好题妙解】佳题新题品味例1如图,直线L上有两点A、B,AB=4cm,过L外一点C作CD∥L,射线BC与L•所成的锐角∠1=60°,线段BC=2cm,动点P、Q分别从B、C同时出发,P以1cm/s•的速度沿由B 向C的方向运动,Q以2cm/s的速度沿由C向D的方法运动,设P、Q运动的时间为t(s),当t>2时,PA交CD于E.(1)用含t的代数式分别表示CE和QE的长.(2)求△APQ的面积S和t的函数关系式;(3)当QE恰好平分△APQ的面积时,QE的长是多少厘米?解析 (1)∵BP=t,CQ=2t,PC=t-2,由EC∥AB,且AB=4,得△PEC∽△PAB,∴EC PC AB PB=,•即EC=4(2)tt-,QE=QC-EC=2t-4(2)tt-=22(24)t tt-+;(2)过P作PE⊥L,垂足为F,交QC的延长线于点G,因∠1=60°,∴PF=PB.sin60°=32t.又∵CD∥L,故PG⊥CD. ∴S△APQ=S△EQA+S△EPQ=12QE·GF+12QE·PG=12QE(GF+GP)=12QE·.PF=12·22(24)t tt-+·32t=32(t2-2t+4);(3)因为△APQ是由△QEA和△QEP组成,又这两个三角形具有公共的底QE,• 所以只须G平分PF,即当C为PB的中点时,QE即平分△PAQ的面积,于是由t-2=2,可得t=4,•从而有:QE=22(24)t tt-+=22(2244)4-⨯+=6(cm).点评这是一个点以定速沿规定方向移动的几何问题,•求解此题的关键是抓住动点移动的时间与各量之间的关系.例2 AB 是⊙O 的直径,把AB 分成n 条相等的线段,•以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么⊙O 的周长L=πa,计算:(1)如图1,把AB 分成两条相等的线段,每个圆的周长L 2=12πa=12L; (2)如图2,把AB 分成三条相等的线段,每个小圆的周长L 3=_______;(3)把AB 分成四条相等的线段,每个小圆的周长L 4=_____.(1) (2) (3)(4)如图3,把AB 分成n 条相等的线段,每个小圆的周长L n =__________.结论:把大圆的直径分成n 条相等的线段以每条线段为直径分别画小圆,•那么每个小圆的周长是大圆周长的________.请依照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.解析 (2)13L (3)14L (4) 1n L ;结论; 1n. 又由直径与面积的关系,得:面积关系为,•每个小圆面积是大圆面积的21n . 点评此题先给出了特殊范例,然后要求归纳出一般性的规律,•这类问题的解法因题而异,没有固定的解题模式,只有多练习多思考,提高观察、推理,归纳能力,•遇到这类问题才会很快找到解法.中考真题欣赏例1 (2003年北京市中考题)如图, ABCD 中,点E,F 在对角线AC•上,•且AE=CF,请你以F 为端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,•猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可). 证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=BC,AD ∥BC.∴∠DAE=∠BCF.在△BCF 和△DAE 中,CB=AD,∠BCF=∠DAE,CF=AE,∴△BCF•≌△DAE.∴BF=DE.点评本题是一个常见的几何基本图形,可创设新的图形背景,•使之成为我们合情推理能力的生长点.例2 (2003年吉林省中考题)如图,AB 是半圆O 的直径,点M 是半径OA•的中点,点P 在线段AM 上运动(不与点M 重合),点Q 在半圆O 上运动,且总保持PQ=PO,过点Q•作半圆O 的切线交BA 的延长线于点C.(1)∠QPA=60°时,请你对△QCP 的形状做出猜想,并给予证明;(2)当QP ⊥AB 时,△QCP 的形状是_______三角形.(3)由(1)、(2)得出的结论,请进一步猜想当点P 在线段AM 上运动到任何位置时,△QCP 一定是_________三角形.解析 (1)△QCP 是等边三角形.证明 连结OQ,则CQ ⊥OQ,∵PQ=PO,∠QPC=60°,∴∠POQ=∠PQO=30°,∴∠C=90°-30°=60°,∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°.∴△QPC 是等边三角形.(2)等腰直角三角形. (3)等腰三角形.点评本题设计精灵,考查我们的推理能力,•并且探求方式扩展到了由特殊到一般的归纳推理模式,使数学学习经历从合情推理到演绎推理的完整过程.竞赛样题展示例1 (2000年黄冈市数学竞赛试题)如图,•堆放在车厢里的两根圆木紧紧挨在一起,两根圆木的半径分别为9dm 和4dm,为了有效地利用空间,•现要在两根圆木的间隙处插进一根半径为1.5dm 的小圆木,问能否做到?解析 ⊙O 1、⊙O 2的半径分别为R 、r.连结O 1O 2,O 1C,O 2B,O 3G,过O 2作O 2D•⊥O 1C 交O 1C 于点D,过O 3作O 2D 的平行线交O 2B,O 1C 于点E 、F.设⊙O 3的半径为x,则在Rt •△O 2O 3E 中,E= 22()()x r r x +--=2rx .又∵BG=O 3E,在Rt △O 1O 3F 中CG=O 3F =22()()R x R x +--=2Rx .∴O 2D =EF=BC=2rx +2Rx , ①在Rt △O 1O 2D 中,(R+r )2-(R-r )2=O 2D 2,∴O 2D=2Rx ②由①、②,得:2rx +2Rx =2Rr ,∴x =RrR r+即x=2RrR r Rr++,当R=9和r=4时,x=9494294⨯++⨯=3625.∵3625<32,故半径为32的圆木不能插进两圆木的间隙.点评本题实质上是求⊙O1和⊙O2相外切同时⊙O1、⊙O2又和直线(截面图形)相切的⊙O3,在此情况下,已知⊙O1、⊙O2的半径,⊙O3的半径也就可求出来了.例2 (江苏省初中数学竞赛题)如图,AB是半圆的直径,AC⊥AB,AC=AB.•在半圆上任取一点D,作DE⊥CD,交AB于点E,BF⊥AB交AD的延长线于点F.(1)设AD是x°的弧,若要使点E在线段BA的延长线上,求x的取值范围;(2)不论点D取在半圆的什么位置,图中除AB=AC外,还有两条线段一定相等,•指出这两条相等的线段,并予以证明.解析 (1)当E点由右趋向于点A时,△ADB将成为等腰直角三角形,即D点为OS•与⊙O的交点,这里OS⊥AB,所以,点E从右运动到点A时,AD是45°的弧,即x=45.当点E离开点A在BA的延长线时,离点A越近,点D越接近于点A,因此x接近于0,D为A点时,x=0,所以满足题设要求的x的范围是0≤x<45.(2)由题意,知∠CDE=90°,∠CAB=∠EBF=90°,∠ADB=90°,∵AC为圆的切线,∴∠CAD=∠ABD.∵∠DEB=180°-∠AED=180°-(360°-180°-∠C)=∠C,∴△ACD∽△EBD, AD AC BC BE=.又∵∠ABD=∠BFD,所以△ABD∽△BFD, AD AB BD BF=所以AC ABBE BF=,∵AB=AC,∴BE=BF.点评此题是探索结论问题,是在给定的条件下,探求相应的结论,•解这类问题的思路是:从给定的条件出发,进行探索,归纳,猜想出结论,然后对猜想出的结论进行证明.全能训练A级1.请你观察思考下列计算过程:因112=121,所以121=11;同样,1112=12 321,因为12321;……由此猜想: 12345678987654321=_________.2.观察一列数:3,8,13,18,23,28…,依此规律,在此数列中比2000•大的最小整数是__________.3.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律,拼成若干个图案:问:(1)第4个图案中有白色地面砖_________块.(2)第n个图案中有白色地面砖_________块.4.将一张长方形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,•对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到______条折痕,如果对折n次,可以得到________条折痕.5.已知,如图,线段AM∥DN,直线L与AM、DN分别交于点B、C,直线L绕BC•的中点P旋转(点C由点D向点N方向移动).(1)线段BC与AD、AB、CD围成的图形,在初始状态下,形状是△ABD(即△ABC)•请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形名称;(2)任取变化过程中的两个图形,测量AB、CD•长度后分别计算同一个图形的AB+CD(精确到1cm),比较这两个和是否相同?试加以证明.6.如图,AB是⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC,垂足为E.(1)由这些条件,你能推出哪些正确结论?(要求:不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程写出4个结论即可);(2)若∠ABC为直角,其他条件不变,除上述结论外,你还能推出哪些正确结论?并画出图形(要求:写出6个结论即可,其他要求同(1)).A级(答案)1.111 111 111.2.2 003.3.(1)18;(2)4n+2.4.15,2n-1或1+2+22+23+…+2n-1.5.(1)一般梯形,等腰梯形、直角梯形和平行四边形;(2)经测量计算,•两个图形的AB+CD都是相等的.6.(1)第一类:如图,连结BD,可得结论:①AB=BC(或∠A=∠C);②D E2=BE·EC;•③DE是AD和BE的比例中项;④DC2=EC·BC(或AD2=EC·BC);……、第二类:连结OD,可得结论;⑤OD∥BC;⑥OD⊥DE;⑦DE是⊙O的切线……从中任选4个结论即可.(2)如图,第一类:不添加辅助线,可得结论:①BC是⊙O的切线;②DE∥AB;•③CE=EB;④△CDE∽△CAB;⑤CB2=CD·CA;⑥CD=DA=CE:EB;⑦S△CDE:S△CAB=1:4;……第二类:作辅助线.第一种情形:连结BD,可得结论:⑧DE=BE=CE;⑨∠A=∠C=45°;第二种情形:连结OD,可得结论,⑩CE=DE=BE=AO=BO;(11).DE是⊙O的切线……从中任选6个结论即可.B级1.如图1,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB=10cm,点P由点C出发以2cm/s•的速度沿线段CA 向点C运动(不运动至点A),⊙O的圆心在BP上,且⊙O分别与AB、AC相切,•当点P运动2s时,⊙O的半径是( )A.127cm B.125cm C.53cm D.2cm(1) (2) (3)2.如图2,直径AB过⊙O的圆心,与⊙O相交于A、B两点,点C在⊙O上,•且∠AOC=30°,点E是直线AB上的一个动点(与点O不重合),直线EC交⊙O于点D,则使DE=DO的点E共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图3,直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,若点P在边AB上移动,•使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似,则符合条件的P点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,点E平分BC,点P在BD上,且PE+PC=1,•探求边AB的最大值.5.已知如图,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E,•延长AE交△ABC的外接圆于点D,连结BD、CD、CE,且∠BDA=60°.(1)求证:△BDE是等边三角形;(2)若∠BDC=120°,猜想四边形BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想.B级(答案)1.A.2.C.3.C.设AP=x,则PB=7-x.①若△PAD∽△PBC,则7xx-=23,∴x=145<7,符合条件;②若△PAD∽△CBP,则27x-,x1=1,x2=6也符合条件.故满足条件的P点有3个.4.如图,不论P如何移动,因为∠BAD=120°,所以△ADC是等边三角形,取AD•的中点F,连结PF,可得PF=PE.连CF可得CF⊥AD,根据题意,得PF+PC≥FC,(当点P在FC•与BD的交点上时,取等号).又∵PF+PC=PE+PC=1,∴FC≤1,AB≤233,所以AB的最大值是233.5.(1)如图,∵AD平分∠BAC,∴∠3=∠4.又∵∠4=∠5,∴∠3=∠5,∵∠DBE=∠2+∠5,∠BED=∠1+∠3,∠1=∠2, ∴∠DBE=∠BED.∴DB=DE.又∵∠BDE=60°.∴△BDE是等边三角形; (2)猜想四边形BDCE是菱形,∵∠BDC=120°,∠BDE=60°,∴∠EDC=60°.∵∠BED=60°,∴BE∥CD.∵∠3=∠4,∴BD=DC,∴BD=DC,又∵BD=BE,∴BE //DC,∴四边形BDCE是平行四边形,又BD=DC,∴ BDCE是菱形.。