专题12 探索性问题一、选择题1.（2021浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④2. （2021浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB =10，CD =6，EF =8。

则图中阴影部分的面积是（ ）A.π225B. π10C. π424+D. π524+ 3.（2021山东德州第9题）公式KP L L +=0表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度. 0L 表示弹簧的初始长度,用厘米(cm )表示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm )表示。

下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）A ．L =10+0.5PB ．L =10+5PC ．L =80+0.5PD ．L =80+5P4. （2021山东德州第12题）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形的中点，构成4个小三角形，挖去中间的小三角形（如题1）；对剩下的三角形再分别重复以上做法，……，将这种做法继续下去（如图2，图3……），则图6中挖去三角形的个数为（ ） A ．121 B ．362 C ．364 D ．7295.（2021浙江宁波第12题）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n 个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n 的最小值是( )A.3B.4C.5D.66.（2021重庆A 卷第10题）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ）A ．73B ．81C ．91D ．1097.（2021广西贵港第11题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若230BC BAC =∠=，，则线段PM 的最大值是 （ ）A ．4B ．3 C.2 D ．18.（2021湖北武汉第10题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A．4 B．5 C．6 D．79.（2021贵州黔东南州第10题）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．.根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A．2021 B．2016 C．191 D．19010.（2021四川泸州第12题）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（3，3），P是抛物线y=14x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．611.（2021四川自贡第11题）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为（）A ．180B ．182C ．184D ．186 二、填空题1. （2021浙江衢州第14题）如图，从边长为（a +3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．2. （2021浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为（-1，0），半径为1，点P 为直线343+-=x y 上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是__________3．（2021浙江衢州第16题）如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限。

△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B 的对应点的坐标是__________；翻滚2021次后AB 中点M 经过的路径长为__________4.（2021浙江宁波第15题）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有 个黑色棋子．5. （2021浙江宁波第17题）已知ABC △的三个顶点为1,1A，1,3B，3,3C，将ABC △向右平移0m m个单位后，ABC△某一边的中点恰好落在反比例函数3yx的图象上，则m的值为.6.（2021甘肃庆阳第18题）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为，第2021个图形的周长为．7.（2021贵州安顺第18题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．8.（2021贵州安顺第17题）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．9.（2021湖南怀化第16题）如图，在菱形ABCD中，120ABC∠°，10cmAB，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以,,P B C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为cm.10.（2021甘肃兰州第20题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是3,0A ，0,2B ，动点P 在直线32yx 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的P ⊙随点P 运动，当P ⊙与四边形ABCO 的边相切时，P 点的坐标为.11.（2021贵州黔东南州第16题）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与y 轴重合且点A 的坐标为（0，1），∠ABO =30°；第二块三角板的斜边BB 1与第一块三角板的斜边AB 垂直且交y 轴于点B 1；第三块三角板的斜边B 1B 2与第二块三角板的斜边BB 1垂直且交x 轴于点B 2；第四块三角板的斜边B 2B 3与第三块三角板的斜边B 1B 2C 垂直且交y 轴于点B 3；…按此规律继续下去，则点B 2021的坐标为 ．12.（2021江苏徐州第18题）如图，已知1OB ，以OB 为直角边作等腰直角三角形1A BO .再以1OA 为直角边作等腰直角三角形21A AO ，如此下去，则线段n OA 的长度为 ．13.（2021浙江嘉兴第15题）如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BAC ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠= ，……按此规律，写出tan n BA C ∠=（用含n 的代数式表示）．14.（2021浙江嘉兴第16题）一副含30︒和45︒角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，12BC EF cm ==（如图1），点G 为边BC ()EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，此时线段BH 的长是 ．现将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转（如图2），在CGF ∠从0︒到60︒的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号）三、解答题1. （2021浙江衢州第23题） 问题背景如图1，在正方形A BCD 的内部，作∠DAE =∠ABF =∠BCG =∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形。

类比研究如图2，在正△ABC 的内部，作∠BAD =∠CBE =∠ACF ，AD ，BE ，CF 两两相交于D ，E ，F 三点（D ，E ，F 三点不重合）。

（1）△ABD ，△BCE ，△CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明； （2）△DEF 是否为正三角形？请说明理由；（3）进一步探究发现，△ABD 的三边存在一定的等量关系，设a BD =，b AD =，c AB =，请探索a ，b ，c 满足的等量关系。

2.（2021山东德州第24题）有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数1=ky x 与=（k 0）k y x ≠的图象性质.小明根据学习函数的经验，对函数1=k y x 与=k y x ，当k >0时=（k 0）ky x≠的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程： （1）如图所示，设函数1=k y x 与=ky x图像的交点为A ,B.已知A 的坐标为(-k ，-1)，则B 点的坐标为 .(2)若P 点为第一象限内双曲线上不同于点B 的任意一点.①设直线P A 交x 轴于点M ，直线PB 交x 轴于点N .求证：PM =PN . 证明过程如下：设P (m ，km)，直线P A 的解析式为y =ax +b (a ≠0). 则-+=-1+=ka b k ma b m⎧⎪⎨⎪⎩ 解得a b ⎧=⎨=⎩所以,直线P A 的解析式为 ．请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.②当P 点坐标为(1,k )(k ≠1)时，判断ΔP AB 的形状，并用k 表示出ΔP AB 的面积.3.（2021浙江宁波第26题）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. (1)如图1，在半对角四边形ABCD 中，12BD ∠∠，12C A ∠∠，求B ∠与C ∠的度数之和； (2)如图2，锐角ABC △内接于O ⊙，若边AB 上存在一点D ，使得BD BO ，OBA ∠的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，2AFE EAF ∠∠.求证：四边形DBCF 是半对角四边形； (3)如图3，在(2)的条件下，过点D 作DG OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH BG 时，求BGH △与ABC △的面积之比.4.（2021重庆A 卷第25题）对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n ）．例如n =123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F （123）=6． （1）计算：F （243），F （617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=() ()F sF t，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．5.（2021湖南怀化第24题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线25y ax bx与x轴交于1,0A，5,0B两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以,,B C D为顶点的三角形与ABC△相似，求点D的坐标；(3)如图2，CE x∥轴玮抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为抛物线的顶点，点4,M m是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标.6.（2021江苏无锡第25题）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x 轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为；若点M经过T变换后得到点N（6，﹣3），则点M的坐标为．（2）A是函数y=32x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．①求经过点O，点B的直线的函数表达式；②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．7.（2021江苏盐城第24题）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．8.（2021江苏盐城第26题）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB =32，BC =40，AE =20，CD =16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB =50cm ，BC =108cm ，CD =60cm ，且tanB =tanC =43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．9.（2021山东烟台第23题）【操作发现】（1）如图1，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的060角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于00且小于030）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CD CF =，线段AB 上取点E ，使030=∠DCE ，连接AF ，EF .①求EAF ∠的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，ABC ∆为等腰直角三角形，090=∠ACB ，先将三角板的090角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于00且小于045）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板另一直角边上取一点F ，使CD CF =，线段AB 上取点E ，使045=∠DCE ，连接AF ，EF .请直接写出探究结果：①EAF ∠的度数；学科*网②线段DB ED AE ,,之间的数量关系.10.（2021四川自贡第24题）【探究函数y=x+4x的图象与性质】（1）函数y=x+4x的自变量x的取值范围是；（2）下列四个函数图象中函数y=x+4x的图象大致是；（3）对于函数y=x+4x，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵x＞0∴y=x+4x=x2+2x）2=x2x2+x 2x2≥0∴y≥．[拓展运用]（4）若函数y =2-5x 9x x+，则y 的取值范围 ． 11.（2021江苏徐州第27题）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC 按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕,AD BE （如图①），点O 为其交点.（1）探求AO 与OD 的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若,P N 分别为,BE BC 上的动点.①当PN PD +的长度取得最小值时，求BP 的长度；②如图③，若点Q 在线段BO 上，1BQ =，则QN NP PD ++的最小值=.。