中考数学热点分析--探索型问题一、内容综述：1.探索型问题分类①结论探索型问题：一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题中往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。
②条件探索型问题：条件探索型问题，一般是由给定的结论反思探索命题，应具备的条件。
2.探索存在型问题解决法解决方法：①直接解法：从已知条件出发，推导出所要求的结论。
②假设求解法：假设某一命题成立--相等或矛盾，通过推导得出相反的结论。
③寻求模型法二、例题精讲：-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例1.已知点A(0, 6), B(3,0), C(2,0), M(0,m)，其中m<6，以M为圆心，MC为半径作圆，则(1)当m为何值时，⊙M与直线AB相切(2)当m=0时，⊙M与直线AB有怎样的位置关系？当m=3时，⊙M与直线AB有怎样的位置关系？(3)由第(2)题验证的结果，你是否得到启发，从而说出在什么范围内取值时，⊙M 与直线AB相离？相交？((2)，(3)只写结果，不要过程)(江苏常州中考题) 分析：如图(1)只需d=r。
作MD⊥AB ,当MD=MC，直线和圆相切，MD用相似可求。
(2)d与r比较(3)(1)是三种位置关系中的临界位置说明：在解有关判定直线与圆的位置这类问题时，一般应先求出这一直线与圆位置相切时应满足的条件，然后再辅以图形运动，分别考察相离，相交的条件。
说明：判断探索性的问题：是指几何图形的形状，大小的判定，图形与图形的位置关系判定，方程(组)解的判定等一类问题。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例 2.已知a,b,c分别是ΔABC的∠A，∠B，∠C的对边(a>b)，二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的图象，顶点在x轴上，且sinA,sinB是关于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的两个根。
(1)判断ΔABC的形状，并说明理由。
(2)求m的值(3)若这个三角形的外接圆面积为25π，求ΔABC的内接正方形(四个顶点都在三角形三边上)的边长。
分析：(1)顶点在x轴上，判别式Δ＝0，可得a,b,c的关系，从而得到三角形的形状(2)再利用同角的关系得m (3)需分类来求。
解：(1)由已知二次函数化简，整理得：---------------------------------------------------------------------------------例3.如图，已知ΔABC是等腰直角三角形，∠C=90°(1)操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果。
(2)探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形(即能否有EF2=AE2+BF2)？如果能，试加以证明。
分析：操作、观察不是重点，探索、猜测才是整个题目的重点，是难点，也就是说，从操作中获取信息是探索问题的过程中最重要的。
(1)中只须旋转∠ECF 中用刻度尺量一量或观察，即可得到。
(2)要判断EF2=AE2+EF2，思路是把AE、EF、FB搬到一个三角形中，通常用平移、翻折、旋转等方法，此题目用翻折的方法，出现和线段AE、BF相等的线段，并且和EF在一个三角形中。
解：(1)观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这个角绕着点C在ÐACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF。
(2)AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：-----------------------------------------------------------------------------例4.(北京朝阳区，最后一题)如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草。
(1)请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图2中，并附简单说明。
(2)要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图3中，并求此时三条小路的总长。
(3)请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法。
(4)你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图5予以说明，这种方法能推广到正n边形吗？-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例 5.某房地产公司要在一块地(图中矩形ABCD)上规划建造一个小区公园(矩形GHCK)，为了使文物保护区ΔAEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB=200m, AD=160m, AE=60m, AF=40m。
(1)求矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，公园的面积。
(2)当G 在EF上什么位置时，公园面积最大？分析：第一问比较容易，求出矩形GHCK的长和宽，注意利用ΔAEF的条件。
第二问是个探索性的问题，求面积的最大值，常用的办法是将面积表示成长(或者宽)的函数。
说明：对于探索某一个量最大、最小的问题，利用函数思想是首选的方法，可以设置适当的变量，所求的量用它来表示，从而用函数的最大最小来求------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例6.某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？(已知：sin53°≈0.80, sin37°≈0.60, tan37°≈0.75)(福州)说明：这种问题在近几年各地的中考题目中出现较多。
要求：1、要能准确画出辅助方位图；2、完成从实际问题到几何模型的转化，转成解直角三角形的问题。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例7.如图的曲线表示一辆自行车离家的距离与时间的关系，骑车者九点离开家，十五点回家，根据这个曲线图，请你回答下列问题。
(1)到达离家最远的地方是什么时间？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00，他骑了多少千米？(5)他在9：00~10：00和10：00~10：30的平均速度各是多少？(6)他在何时至何时停止前进并休息用午餐？(7)他在停止前进后返回，骑了多少千米？(8)返回时的平均速度是多少？(9)11：30和13：30时，分别离家多远。
(10)何时距离家22千米？分析：这个曲线图，与课本上函数图象的不同点在于横轴表示的时间不是从0开始的，而是从9开始，横、纵轴上的数值代表着截然不同的实际含意。
(t,S)解：(1)12点，30千米(2)10点半，半小时(3)离家17千米(4)11：00到12：00，他骑了13千米(5)9：00~10：00的平均速度为10千米/时，10：00~10：30的平均速度是14千米/时(6)12点到13点(7)返回骑了30千米(8)2小时，15km/h.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例8.有一批货，如果月初售出，可获利1000元，并可得本利和再去投资，到月末获利1.5%；如果月末售出这批货，可获利1200元，但要付50元保管费，请问这批货在月初还是月末售出好？解：设这批货成本为a元，月初出售到月末可获利润P1=1000+(a+1000)×1.5%=0.015a+1015月末出售可获利润P2=1200-50=1150元P1-P2=0.015(a-9000)故为a>9000时，月初出售好；当a=9000时，月初，月末出售相同；当a<9000时，月末出售好。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例9.某水库的闸板如图所示，它的形状是由一个半圆和一个矩形组合而成，为了周围封得好，周长应尽可能小，但为了使水的流量越大越好，希望面积尽可能地大，问当周长一定时半圆半径r和矩形高度h应怎样取才好呢？分析：在周长一定的条件下，面积的大小即与r有关又与h有关，即S是r 和h的函数，在含两个自变量的函数关系式中，通常由一个变量表示另一个，转化为含一个的再求最值。
说明：利用函数关系式求最值问题，在生活实际中有着广泛的应用，诸如周长最小，面积最大材料最省，效益最好等等，往往可以通过建立适当的函数关系式，通过求函数的最值来解决。