数学物理方法习题一、复变函数部分习题第一章习题1、证明函数()Re f z z =在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z =仅在原点有导数。

3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y +++≠ =+，证明()z f 在原点满足C－R 条件，但不可微。

4、若复变函数()z f 在区域D 上解析，并满足下列条件之一，证明其在区域D 上必为常数。

（1）()z f 在区域D 上为实函数； （2）()*z f 在区域D 上解析； （3）()Re z f 在区域D 上是常数。

5、证明2xy 不能成为z 的一个解析函数得实部。

6、若z x iy =+，试证：（1）sin sin cosh cos sinh z x y i x y =+； （2）cos cos cosh sin sinh z x y i x y =−； （3）222sin sin sinh z x y +＝； （4）222cos cos sinh zx y =+。

7、试证若函数()f z 和()z ϕ在0z 解析。

()()000f z z ϕ==，()00z ϕ′≠，则()()()()000lim z z z f z f z z ϕϕ→′=′。

（复变函数的洛必达法则） 8、求证：0sin lim1z zz→=。

第二章习题9、利用积分估值，证明a．()22ii x iy dz π−+≤∫，积分路径是联结i −到i 的右半圆周。

b．证明2+212iidz z ≤∫积分路径是直线段。

10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中c 均为圆心在原点，半径为1的单位圆周。

a．cos c dzz ∫ ； b．256z c e dz z z ++∫ 。

11、计算a. ()221:21c z z dzc z z −+=−∫ ； b. ()()2221:21cz z dzc z z −+=−∫。

12、求积分():1z c e dz c z z =∫ ，从而证明()cos 0cos sin e d πθθθπ=∫。

13、由积分2c dz z +∫之值，证明012cos 054cosd πθθ+=+∫，c 为圆心在原点，半径为1的单位圆周。

14、设()264z F z z +=−，证明积分()c F z dz ∫ a.当c 是圆周221x y +=时，等于0； b.当c 是圆周()2221x y −+=时，等于4i π； c.当c 是圆周()2221x y ++=时，等于2i π−。

第三章习题15、求下列级数的收敛半径，并对c 讨论级数在收敛圆周上的敛散情况。

a.11n n n z n ∞=∑；b.1n nn n z ∞=∑； c.0k n n n z ∞=∑（0k >为常数）；16、试求下列级数的收敛半径。

a.!0n n z ∞=∑； b.0!nn n n z n ∞=∑；c. ()00,0n n n n z a b a ib ∞=>>+∑。

17、将下列函数按z 的幂展开，并指明收敛范围。

a. 0zz e dz ∫； b. 2cos z 。

18、将下列函数按1z −的幂展开，并指出收敛范围。

a. cos z ；b.2z z +； c. 225zz z −+。

19、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。

a.21(1)z z z +−,01,1z z <<<<∞；b.()()2225,1221z z z z z −+<<−+。

20、将下列函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立范围。

a.()221,1z i z =+；【()nnn a z i ∞=−∞−∑】 b.()1211,1zz ez −−=。

【()1nn n a z ∞=−∞−∑】 21、把()11f z z=−展成下列级数。

（1）在1z <上展成z 的泰勒级数； （2）在1z >上展成z 的罗朗级数； （3）在12z +<上展成(1)z +的泰勒级数； （4）在12z +>上展成()1z +的罗朗级数。

第四章习题22、确定下列各函数的孤立奇点，并指出它们是什么样的类型（对于极点，要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论： （1）()2211z z z −+； （2）1cos z i +； （3）1sin cos z z+。

23、求()11zze f z e −=+在孤立奇点处的留数。

24、求下列函数在指定点处的留数。

（1）()()211zz z −+在1,z =±∞； （2）241ze z −在0,z =∞。

25、求下列函数在其奇点（包括无穷远点）处的留数，（m 是自然数）（1）1sin mz z （m 是自然数）； （2）()21z e z −； （3）31sin z e z −。

26、求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数。

（1）12z z eα−； （2）()()()1mz z αβαβ≠−−。

27、计算下列积分（1）1sin z dzz z=∫ ； （2）()()1,1,1,,n nz dza b a b n z a z b =<<≠−−∫ 为自然数；（3）222121zz e dz z π=+∫ 。

28、求下列各积分值（1）2201cos d πθθ+∫ ； （2）()2200sin d a a πθθ>+∫。

29、求下列各积分的值（1）()()222014x dx x x ∞++∫ ； （2）()22cos (1)9xdx x x ∞−∞++∫； （3）()44sin 0,0x mxdx m a x a∞>>+∫。

30、从c∫ 出发，其中c 为如图所示之围线，方向沿逆时针方向。

证明00∫∫二、数学物理方程及特殊函数部分习题第五章习题31、弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受阻力t F Ru =−（比例常数R 叫做阻力系数），试推导弦在这阻尼介质中的振动方程。

32、长为l 柔软均质轻绳，一端（0x =）固定在以匀速ω转动的竖直轴上。

由于惯性离心力的作用，这绳的平衡位置应是水平线。

试推导此绳相对于水平线的横振动方程。

33、长为l 的均匀杆，两端由恒定热流进入，其强度为0q 。

试写出这个热传导问题的边界条件。

34、半径为R 而表面燻黑的金属长圆柱，受到阳光照射，阳光方向垂直于柱轴，热流强度为M 。

设圆柱外界的温度为0u ，试写出这个圆柱的热传导问题的边界条件。

第六章习题35、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后突然撤除这力，求解此弦的振动。

36、研究长为l ，一端固定，另一端自由，初始位移为hx 而初始速度为零的弦的自由振动情况。

37、求解细杆的热传导问题。

杆长为l ，两端温度保持为零度，初始温度分布为()20t bx l x u l =−=。

38、求解细杆的热传导问题。

杆长为l ，初始温度为均匀的0u ，两端温度分别保持为1u 和2u 。

39、长为l 的柱形管，一端封闭，另一端开放。

管外空气中含有某种气体，其浓度为0u ，向管内扩散。

求该气体在管内的浓度(),u x t 。

40、均匀的薄板占据区域0x a <<，0y <<∞。

其边界上的温度为00x u ==，0x a u ==，00y u u ==，lim 0y u →∞=。

求解板的稳定温度分布。

41、试用分离变数法求解定解问题()()()20000,00,000,00tt xx x x x l t t t u a u g t x l u u t u u x l ==== =+><<==> ==<< 。

42、半径为a ，表面燻黑了的均匀长圆柱，在温度为零度的空气中受着阳光的照射，阳光垂直于柱轴，热流强度为q ，试求圆柱内的稳定温度分布。

43、用傅立叶变换求解定解问题()()()()222200,,0,0,y y u ux y x y u x x u x ϕ=→∞ ∂∂+=−∞<<∞> ∂∂=−∞<<∞=−∞<<∞。

第七章习题44、试用平面极坐标系把二维波动方程分离变数。

45、试用平面极坐标系把二维输运方程分离变数。

46、求证()()()11()2l l l l P x P x xP x P x +−′′′=−+，1l ≥。

47、利用上题和()()111()21()()0l l l l P x l xP x lP x +−+−++=，1l ≥， 求证()()()()1121l l l l P x P x P x +−′′+=−，1l ≥。

48、在[]1,1−区间上将2x 用勒让德多项式展开。

49、验证：33123()()55x P x P x =+。

50、证明：()()()10211,0()0,2,1,2,2!1,21,0,1,2,2!1!l k k l P x dx l k k k l k k k k +====−=+= + ∫。

51、求解()()2200,0cos ,0r ar u r a u u θπθθπ=→ ∇=<<< ==<< 有限值。

52、求解()()2200,0cos ,0r a r u r a u u θπθθπ=→ ∇=><< ==<< 有限值。

53、用一层不导电的物质把半径为a 的导体球壳分隔为两个半球壳，使各半球分别充电到电势为1v 和2v ，试计算球壳内外的电势分布。

54、半径为a ，表面燻黑的均匀球，在温度为00的空气中，受着阳光的照射，阳光的热流强度为0q ，求解小球里的稳定温度分布。

55、计算下列积分（1）()30x J x dx ∫；（2）()3J x dx ∫。

56、半径为R 而高为H 的圆柱体下底面和侧面保持零度，上底面温度分布为()2f ρρ=，求柱体内各点的稳恒温度（稳定温度分布）。

57、设半径为R 的无限长圆柱形物体的侧面温度为00，初始温度为22t u R ρ==−，求此物体的温度分布随时间的变化规律。

（无限长→u 与ϕ无关）58、圆柱体半径为R 而高为H ，上底面保持温度1u ，下底面保持温度2u ，侧面温度分布为()()12222u u Hf z z z H z H H=−+−，求解圆柱体内各点的稳恒温度（稳定温度分布）。