复变函数与实变函数之比较
——北方工大
目录
• 1、复变函数与实变函数特点的比较 • 2、复变函数与实变函数的联系与区别
1、复变函数与实变函数特点比较
• 1.1、相同点 • 1.2、不同点
一、复变函数与实变函数特点比较
实变函数：以实数作为自变量的函数叫实变 函数，它是微积分学的进一步发展，基础 是点集论（点集论是专门研究点所成的集 合的性质的理论）。当然它与古典数学也 有差别。
1.2不同点
• 两者定义域不同，即所建立的空间不一样；
• 复函研究是黎曼积分从数学分析的实空间 扩展到复空间上，而实函是另一套积分理 论--勒贝格积分； • 所建立的思维不同、研究方法不同 ；
1.2不同点
• 研究范围不同：实变函数论的内容包括实 值函数的连续（柯西积分理论）、几何（黎曼面理论）、 代数（魏尔斯特拉斯级数理论）；
谢谢指导！
2.2、区别
2函数连续但不可导在分析中找一个处处连续 而一点不可导的例子是很困难的，而在复 变函数中这样的例子很多 ； 3关于对数：在实数范围内，负数不能取对数， 而在复数范围内，任一个非零复数都有无 穷多个对数，负数只是没有实对数 ； 4关于ROLL定理：一元实函数中的ROLL定理 不能直接推广到复数域中来 ；
2.2、区别
• 重大差别：微分中值定理、解析函数的无穷可微 性（对于单连通区域D内的解析函数来说，具有 无穷可微性， 但对一元实函数而言，这一点是难 以保障的）和零点孤立性。 • 其他方面还有以下几点 1解析函数的值与值之间有紧密联系：柯西积分定理 是解析函数积分的理论基础， 其实质就是一个在 区域内的解析函数是可以用一个积分来表示的， 也就是解析函数在区域内任意处的值总可以用其 在边界上的积分来表示；
2.1、联系
实变函数有序组合可以这样表示复函： w f (z) u(x, y) iv(x, y) • 显然，一个复变函数是两个许多定义、公式、定 理可直接移植到复变函数中。 • 举例（文献），以二元实函为例，从连续性、可 导性、可微性、解析性方面说明了两者之间的联 系；以Green公式说明两者的紧密相联；以复变 函数、实变函数的定理巧妙解决相互之间的问题 说明两者联系。
• 一些初等函数的值域、周期性、算法（尤 其积分）有很大区别；
2、复变函数实变函数的联系与区别
2.1、联系 2.2、区别
2.1、联系
• 从数学专业来看，本科阶段的分析学课程 群（与极限理论有关的数学课程类）包括 数学分析、实变函数、复变函数、泛函分 析和拓扑学等核心课程。 • 如此来看，复变函数只是实变函数在微积 分领域的推广与发展，又称复分析。
复变函数：主要研究定义域为复数的函数的 微积分以及幂级数展开等性质 。
1.1、相同点
• 首先，复变函数和实变函数研究的主体都 是函数； • 其次，复变函数和实变函数研究的主线都 是：变量、函数、极限、导数、级数、积 分； • 第三，对复变函数和实变函数研究所采用 的方法基本相同，或最少是没有明显的差 异。基本方法都是传统的数学方法。
2.2、区别
• 5关于积分中值定理：一元实函数中的积分中值 定理不能直接推广到复数域中来； • 6关于最大(小)值：f(x)在闭区间上连续必可取得 最大(小)值，而最值可以在区间内部也可以在区 间的端点处取得，复变函数w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域D内解析且不恒为常数，f、u、v都不会 在区域内部取得最大值 。