§3.1.1频率与概率（韦文月陕西师范大学 710062）【教材版本】北师大版【教材分析】本节课的教学内容是《数学必修3》第三章§1.1节互斥事件，教学课时为1课时．《标准》要求学生在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．本节课主要是通过具体实例，理解概率与频率的联系与区别，进一步辨别随机试验结果的随机性与规律性的关系．概率研究随机事件发生的可能性大小问题，这里既有随机性，又有随机中表现出的规律性，这是学生理解的难点．突破难点的最好办法是给学生亲自动手操作的机会，使学生在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知．通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，体现了试验、观察、归纳和总结的思想方法．对随机事件的概率教学可以分为下面几个层次：第一，由学生实际动手操作投掷硬币试验第二，计算机模拟，使学生感受到随着试验次数的增加，正面朝上的频率在0.5附近摆动．第三，展示历史上一些掷硬币的试验，使学生感受到随着试验次数的增加，正面朝上的频率在0.5附近摆动．第四，解释这个常数代表的意义：这个常数越接近1，表明事件发生的频率越大，也就是它发生的可能性越大；这个常数越接近0，表明事件发生的频率越小，也就是发生的可能性越小．所以可以用这个常数度量事件发生的可能性的大小．第五，引导学生对概率与频率的关系进行比较．频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．频率是随机的，在试验前不能确定，但概率是一个确定的数，与每次试验无关．【学情分析】学生在义务教育阶段已经接触统计概率的一些基本知识．《义务教育课程标准》要求学生能够初步感受事件发生的不确定性和可能性．经历义务教育阶段的学习，学生已经初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的；能够列出简单试验所有可能发生的结果并知道事件发生的可能性是有大小的；同时，能够对一些简单事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法．在本书第一章统计部分，学生已经学会了频数、频率这个概念．同时学会制作频率统计图．但是，运用辩证思想去看待并解决数学问题仍然是学生的弱点．【教学目标】1．知识与技能（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；（2）理解概率的意义；（3）理解频率和概率的区别．2．过程与方法在具体情境中，让学生亲自动手操作，使学生在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知．通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，体现了试验、观察、归纳和总结的思想方法．3．情感、态度与价值观加强概率的实际应用，可以使学生体会概率的重要性．【重点难点】本节课的教学重点是了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；本节课的教学难点是：（1）概率与频率的联系和区别；（2）随机试验结果的随机性与规律性的关系．【教学环境】1.多媒体课件；2.多媒体教室；3.计算机.[教学设计]1.导入老师（以下简称师）：今天，我们先来看看几个有趣的问题，下面的这些描述一定发生吗？（1）早晨，太阳必然从东方升起；（2）苹果，不抓住必然往下掉；（3）边长为a、b的矩形，其面积必为ab；（4）刘翔从西安跑到北京，花了20秒；（5）一岁的婴儿能扛50千克重的大人；（6）地球是一块平板；（7）下周三本地下雨；（8）抛骰子出现点数为1；（9）掷硬币正面朝上．学生（以下简称生）：1、2、3一定发生，4、5、6不可能发生，7、8、9可能发生，也可能不发生．2.复习旧知识中的随机思想师：（1）这就是我们在初中时就已经学过的知识，一定发生的事件，我们称为必然事件；不可能发生的事件，我们称为可能事件；可能发生，也可能不发生的事件，我们称为随机事件．（2）随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但是试验中的频率我们是可以算出来．在必修3的统计这一章，我们也接触了频率这个概念，就是出现的次数比上总的次数，我们也学习了频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图．（3）必然事件与不可能事件，统称为确定事件．确定事件和随机事件，统称为事件．事件一般用大写字母A、B、C……表示．设计意图：引导学生回顾统计知识，从而使接下来要做的动手探究有一个知识和心理上的准备．学会用大写字母表示事件．3.学生自主探究环节1：师：在相同条件下的大量重复试验中，为了探究频率的规律，来看下面的材料．为了研究这个问题，2003年北京市某学校高一（5）班的学生做了如下试验：在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察出现“钉尖朝上”的频率的变化情况：（1）每人手捏一枚图钉的钉尖，钉帽在下，从1.2米的高度让图钉自由下落．（2）重复20次，记录下“钉尖朝上”出现的次数．图1 汇总六位同学的数据后画出来的频率图观察图1，出现“钉尖朝上”的频率有什么样的变化趋势？生：投掷次数较少的时候，频率波动较大；随着投掷次数的增加，频率摆动的幅度变小，并在一个常数附近摆动．设计意图：引导学生从别人的试验结果中，找到频率变化的规律．为下面学生自己探究提供了方向．环节2：师：为了探究随机事件发生的规律，下面我们来做一个试验：在相同情况下大量重复掷图钉，观察出现“顶尖朝上”的频率的变化情况（1）每人手捏一枚图钉的钉尖，钉帽在下，从1米的高度让图钉自由下落，重复20次，记录下“正面朝上”出现的次数，同时计算出每次试验“正面朝上”出现的频率，列出频率表．（2）汇总每个同学的数据，并将他们的数据进行编号，分别得出前20次、前40次、前60次……试验出现“正面朝上”的频率．（3）把数据输入到Excel软件中，画出频率随着投掷次数增加的频率折线图．即在直角坐标系中，横轴表示掷图钉的次数，纵轴表示以上试验得到的频率，将上面算出的结果表示在坐标系中．（4）图上观察出现“钉尖朝上”的频率变化趋势，你会的得出什么结论？通过上面的试验，我们可以看出：出现“钉尖朝上”的频率是一个变化的量，但是在大量重复试验是，它又具有“稳定性”——在一个“常数”附近摆动．师生一起总结以上两个环节，得出以下结论：（1）在大量重复试验的情况下，出现“钉尖朝上”的频率会呈现稳定性，即频率在一个“常数”附近摆动．随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势．（2）有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情形，但是随着试验次数的增大，频率偏离“常数”的可能性会减小．设计意图：让学生亲身经历，随着试验次数增加，频率的变化规律．4.阅读理解材料一：历史上曾有人做过掷硬币的试验，试验结果如表1：表1重复抛掷硬币，出现“正面朝上”的频率是事先无法确定．但是，在大量重复抛掷硬币时，出现“正面朝上”的频率具有稳定性——它在0.5附近摆动．材料二：考察新生婴儿的性别：可能是男孩，也可能是女孩．对大量新生婴儿的统计显示，出现“新生婴儿是男孩”的频率具有稳定性．著名数学家拉普拉斯对男婴和女婴的出生规律作了详细的研究，他对伦敦、彼得堡、柏林和法国的情形进行了分析，得到了庞大的统计资料．这些资料显示，10年间，男孩出生的频率在2243附近摆动．表（2）是上个世纪波兰的一些统计结果．表2材料三：表3是我国历次人口普查总人口性别构成情况，它们与拉普拉斯得到的结果非常地接近．表3 我国历次普查总人口性别构成情况（单位:万人）师：在以上三个材料中，我们在每一轮试验之前，能否知道频率的值呢？生：不能．师：既然一个试验前，频率的值我们是无法确定的，那么说明频率是随机的，但是大量试验中，频率是有规律的．从以上这三个材料我们能看到随机事件的频率有什么共同特征呢？生：在大量重复试验中，随机事件的频率总是在某一个“常数”附近摆动．设计意图：通过呈现材料，让学生意识到频率是有规律的，在大量重复试验中，它会在某个“常数”附近摆动．5.学生动手实践师：在前面统计内容的学习中，我们已经了解了随机数表．下面我们用随机数表来模拟硬币的试验．用0，1，……，9这10个数字中的任意5个表示“正面朝上”，其余5个表示“反面朝上”，每产生一个随机数就完成一次模拟．下面我们用0，1，2，3，4表示“正面朝上”，用5，6，7，8，9表示“反面朝上”．具体过程如下：（1）制作一个如下形式的表格，在随机数表中随机选择一个开始点，完成100次模拟，并将结果记录在表4中．表4（2）根据表（4）的记录，得出100次模拟试验中出现“正面朝上”的频率． （3）汇总全班同学的结果，给出出现“正面朝上”的频率．总结试验结果：出现“正面朝上”的频率是一个变化的量，但是当试验次数比较大时，出现“正面朝上”的频率在0.5附近摆动．这与历史上抛掷硬币的试验结果是一致的．设计意图：学生亲自动手实践，能体会到试验前，频率是无法确定的，它是一个变化的量，或者可以说是一个随机量，但是大量的试验表明，频率是有规律的．6.抽象概括以上的试验，都揭示了，大量重复试验，随机事件的频率会在某一个常数附近摆动，这个常数越接近1，表明事件发生的频率越大，也就是它发生的可能性越大；这个常数越接近0，表明事件发生的频率越小，也就是发生的可能性越小．所以可以用这个常数度量事件发生的可能性的大小．（1）概率的概念在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫做随机事件A 的概率，记做P(A)．（2）概率的含义概率表示随机事件A 发生的可能性．概率的值越大，事件发生的可能性越大． 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0到1之间． （3）频率的含义在相同条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中随机事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n为事件A 出现的频率．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度．（4）频率和概率的区别与联系①频率是随机的，在试验前事无法确定的，而概率是一个确定的值，与每次试验无关．因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．②频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．③在实际问题中，某种随机事件的概率往往难以确切得到，因此，我们常常通过大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．7.布置作业1.请举出身边的一些随机事件的例子.2.在上面掷图钉的活动中，根据已有的数据，计算出现“顶尖朝上”的概率大约是多少？3.课后调查：气象台常常用概率的语言来刻画未来天气的变化情况，比如“今天的降水概率是60%.你对这句话是如何理解的？对你身边的人进行调查，看看他们是如何理解的.【专家点评】本教学设计的突出特点有：（1）复习旧知，引入新知；（2）教学素材丰富。