求圆锥曲线离心率的专题
求离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公
式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出
关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的
离心率的取值范围,给出离心率的值.
1.（2016全国丙卷理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦
点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）.
A.
13 B. 12 C.
2
3
D. 3
4
2.已知双曲线:E 22
221x y a b
-=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD
的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______.
【解析】 由题意，2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3,
2c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在双曲线E 上，代入方程22221x y a b
-=，得2222914c c a b -=，再由2
c b a =+22得E 的离心率为
2c
e a
=
=. 考点1.利用题设条件求出,a c 的值
【例1】已知双曲线
22
219x y b
-=(0)b >，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为E ,0150CED ∠=，其双曲线的离心率为( )
3
2
【解析】由题意3a =，易得OD OE =，075CEO OCE ∠=∠=,所以0
30=∠COE ，在
Rt OCF ∆中，
⇒=+=0230cos 93b
OF OC 33
212322==⇒=⇒=a c e c b
【例2】已知抛物线2
4y x =的准线与双曲线22
214
x y a -
=交于,A B 两点，点F 为抛物线的交点，若FAB ∆为正三角形，则双曲线的离心率是 ．
【解析】根据已知条件画出图形（如右图），FAB ∆
R t A K F ∆中，30,2,AFK KF ∠=︒=
tan 30AK KF A ⎛∴=︒=
∴- ⎝
⎭2
2114a ⎝⎭∴-=，解得234a =，又24b =，故双曲线离心率c e a =
==
．
考点2.根据题设条件直接列出,,a b c 的等量关系
【例3】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与圆22
(3)9x y -+=相变于A.B
两点，若||2AB =，则该双曲线的离心率为（ ）
A.8
B. C 3 D.4
考点3.借助直角三角形的边角关系
【例4】【2012全国新课标，理4】设12F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P
为直线32
a
x =
上一点，12F PF ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()
A 12 ()
B 23 ()
C 3
4
()
D 45
【解析】12F PF ∆是底角为30 的等腰三角形，2213
2()22
PF F F a c c ⇒==-=， 则34
c e a =
= 【例5】设1F ，2F 分别是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，
Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）
A.
13 B.2
3
【解析】由条件1PF PQ =，则PQ ⊥x 轴，而0
1
60F PQ ∠=，∴1F PQ ∆为等边三角形，而周长为4a ，∴ 等边三角形的边长为
43a ，焦点在直角三角形12PF F ∆中，14||3
a
PF =，
22||3a PF =，12||2F F c =， ∴22242()()(2)33a a c -=，即22
3a c =，∴22213
c e a ==，
考点4. 借助与其它曲线的关系求离心率
【例6】点A 是抛物线2
1:2(0)C y px p =>与双曲线22
222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐
近线的交点（异于原点），若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于
（ ）
A B ．2 C D ．4
【解析】 点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，
∴⎪⎭
⎫
⎝⎛p p A ,2适合x a b y =，∴422=a b ，∴5=e 【例7】如图，已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且
这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________． 【解析】如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方
的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF |＝p ，所以|AF ′|＝2p .因为|AF ′|＋|AF |＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e
＝c a
＝2－1.
考点5. 利用椭圆或双曲线的定义求离心率
【例8】椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若
AF ^BF ,设6
π
=
∠ABF ，则该椭圆的离心率为 （ ）
A ．
22 B ．13- C ．33 D ．2
31- 【解析】取椭圆右焦点M ，连接BM AM ,，由椭圆对称性以及AF ^BF 知四边形AFBM 为
矩形，由6
π
=
∠ABF 得c AF =，c AM 3=，由椭圆定义知a AM AF 2=+2c a +=，
13-=∴e .
【例9】设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若
216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___.
【例10】 F 1，F 2是双曲线22
22:1(,0)x y C a b b a b
-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与
双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是
（ ）
A B
C ．2
D 【解析】画出图形，在2ABF ∆中，根据题意可设223,4,5(0)AB t BF t AF t t ===>， 2
2
2
2
22,AB BF AF ABF +=∴∆ 为直角三角形．设1AF m =，由双曲线的定义知
1221BF BF AF AF -=-，即
345t m t t m +-=-，∴3m t =， ∴212532a AF AF t t t =-=-=．在12Rt BF F ∆中，
12F F =
=，∴c
e a
=
=，故选D ．
考点6. 借助双曲线的渐近线求离心率
【例11】已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.
则双曲线E 的离心率为_______________.
【解析】因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2
a
＝2，
故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝c
a
＝ 5.
【例12]已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角的余弦值为10
，该双曲线上过一
个焦点且垂直于实轴的弦长为
3
，则双曲线的离心率等于（ ）
A D ．
【解析】双曲线22221x y a b -=所以1e =，即
e =
， 故选C. 考点7. 利用弦中点坐标，代点相减求离心率
【例13】过点(1,1)M 作斜率为1
2
-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，
若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为。