康杰中学 高考模拟试题（八）数学（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的） 1．设集合{}12A =，，则满足{}123A B =，，的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．82．如果复数(m 2+i)(1+mi)是实数，则实数=m ( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-23．右面的程序框图5，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A ．c > x B ．x > c C ． c > bD ． b > c4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =， 224k k S S +-=，则k =( )A ．8B ．7C ．6D ．5 5．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( ) A ．372 B ．360 C ．292 D ．2806．已知双曲线2221(2)2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π， 则双曲线的离心率为（ ）A ．233B ．263C ．3D ．2 7．设1232,(2)()log (1),(2)x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩则不等式()2f x >的解集 为（ ）A ．(1，2)∪(3，+∞)B ．(10，+∞)C ．(1，2)∪(10，+∞) D．(1，2)8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB＝60°，E 为AB 的中点．将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为( )（第8题图）A ．2734π B ．26π C ．86π D ．246π9．已知函数f(x)=asinx-bcosx (a 、b 为常数，a≠0,x∈R)在x=4π处取得最小值，则函数y=f(43π-x)是( ) A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点(23π，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(23π，0)对称D ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称 10．已知非零向量AB 与AC满足0=⋅+且1..2AB AC AB AC =则ABC ∆ 为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形11．等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ）A ．62 B ．92 C ．122 D ．15212．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．[)2+，∞C ．(]02，D ．120⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦，二、填空题（本大题共４小题，每小题5分，共20分） 13．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是14．已知变量x ，y 满足约束条件14,22x y x y ≤+≤-≤-≤。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 15．设0,1a a >≠，函数2lg(23)()xx f x a -+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+> 的解集为16．半径为r 的圆的面积2)(r r S π=,周长r r C π2)(=，若将r 看作（0，+∞）上的变量，则 r r ππ2)'(2=①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作（0，+∞）上的变量，请你写出类似于①的式子：_______________________________________② ②式可用语言叙述为___________________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤） 17．（本小题满分12分）为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。

18．（本小题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料：日 期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差x (°C) 10 11 13 12 8 6 就诊人数y (个) 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求 线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验．(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分)(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；(6分)(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2 人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理 想?(3分)（参考公式：1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑)19．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥． （Ⅰ）求证：11D C AC ⊥；（Ⅱ）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1D E ∥平面1A BD ，并说明理由． 20．（本小题共l2分）过点C (0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)B a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ． （I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （II ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；BCD A1A1D1C1B（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．选修4-1:几何证明选讲如图,⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明(Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅; (Ⅱ) AC AE =.23．选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系曲线C 的极坐标方程为cos （3πθ-）=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点。

（I ）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标； （II ）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。

24．选修4-5：不等式选讲已知正数a 、b 、c 满足2a b c +<，求证：22.c c ab a c c ab --<<+-数学模拟试题八(文数)答案一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBADBACCDACA二、填空题 13.44π- 14. 1>a 15. （2，3） 16. 234)'34(R R ππ=，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

三.、解答题17．解：方案1：①需要测量的数据有： ,A B 的之间距离dA 点到,M N 的俯角11,BAM BAN αβ∠=∠=B 点到,M N 的俯角22,ABM PBN αβ∠=∠= ②第一步：计算AM ，由正弦定理，212sin sin()d AM ααα=+ 第二步：计算AN ，由正弦定理，221sin sin()d AN βββ=- 第三步：计算MN ，由余弦定理，22112()MN AM AN AM ANCOS αβ=+-⋅-方案2：①需要测量的数据有：,A B 的之间距离d A 点到,M N 的俯角11,BAM BAN αβ∠=∠= B 点到,M N 的俯角22,ABM PBN αβ∠=∠=②第一步：计算BM ，由正弦定理，212sin sin()d BM ααα=+NB A M P第二步：计算BN ，由正弦定理，121sin sin()d BN βββ=-第三步： 计算MN，由余弦定理，MN =18.解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A ．因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的 …………(2分) 其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 ………………(3分)所以()31155A P ==………………(5分) (Ⅱ)由数据求得11,24x y ==由公式求得187b =………………(7分)再由307a y bx =-=-所以关于的线性回归方程为183077y x =-……………………(10分) (Ⅲ)当10x =时,1507y =, 150|22|27-<； 同样, 当6x =时,787y =, 78|14|27-< ……(12分) 所以,该小组所得线性回归方程是理想的． 19．(Ⅰ)证明：在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，连结1C D ，1DC DD =，∴四边形11DCC D 是正方形． 11DC D C ∴⊥．又AD DC ⊥，11AD DD DC DD D ⋂=⊥，，AD ∴⊥平面11DCC D ，又1DC ⊂平面11DCC D ， 1AD D C ∴⊥．1AD DC ⊂，平面1ADC ， 1D C ∴⊥平面1ADC ，又1AC ⊂平面1ADC ， 1D C AC ∴1⊥．............6分（2）连结1AD ，连结AE ， 设11AD A D M =，BD AE N =，连结MN ，平面1AD E 平面1A BD MN =，要使1D E ∥平面1A BD ，须使1MN D E ∥，又M 是1AD 的中点．N ∴是AE 的中点．又易知ABN EDN △≌△， AB DE ∴=．即E 是DC 的中点．综上所述，当E 是DC 的中点时， 可使1D E ∥平面1A BD ．……12分20.（Ⅰ）由已知得1,c b a ==2a =，所以椭圆方程为221x y +=．…2分椭圆的右焦点为，此时直线l 的方程为 1y =+，代入椭圆方程得BCD AA1BMEBCDA1A 1D 1C1B270x -=，解得120,x x ==，代入直线l 的方程得 1211,7y y ==-，所以1)7D -，故16||7CD ==．………………6分 （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为11(0)2y kx k k =+≠≠且．代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=．解得12280,41kx x k -==+，代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+，所以D 点的坐标为222814(,)4141k k k k --++．.....9分又直线AC 的方程为12x y +=，又直线BD 的方程为12(2)24ky x k +=+-，联立得4,2 1.x k y k =-⎧⎨=+⎩因此(4,21)Q k k -+，又1(,0)P k -．所以1(,0)(4,21)4OP OQ k k k⋅=--+=．故OP OQ ⋅为定值．………………12分21.解：(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞)，2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=………2分 当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调增加； 当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x 当x 时, ()f x '＞0；x +∞)时，()f x '＜0, 故f (x )在（单调增加，在，+∞）单调减少…………6分(Ⅱ)不妨设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f (x )在（0，+∞）单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于12()()f x f x -≥4x 1－4x 2,即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1. ……………………9分令g (x )=f (x )+4x ,则1()2a g x ax x+'=++4＝2241ax x a x +++.于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0.从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即 f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2， 故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-.………………12分23．解（Ⅰ）由得1)3cos(=-πθρ1)sin 23cos 21(=+θθρ，从而C 的直角坐标方程为…………5分（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0），N 点的直角坐标为)332,0( 所以P 点的直角坐标为),6,332(),33.1(π点的极坐标为则P 所以直线OP 的极坐标方程为,(,)6πθρ=∈-∞+∞ ………………10分24．证明：要证22,c c ab a c c ab -<<-只需证22,c ab a c c ab --<-<- ………………3分即只要证2||a c c ab -- ………………5分两边都是非负数， 222(),2()2,0,2,a c c ab a ac ab a a b ac a a b c ∴-<--<-+<>+<只要证只要证即只要证只需证这就是已知条件，且以上各步都可逆，22.c c ab a c c ab ∴-<-………………10分。