山西省阳泉市2013高三第二次调研考试试题文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，}6,5,4,3,2,1{=U 集合=⋂==)(}5,4,3{},4,3,2,1{Q C P Q P U ，则， A.｛1，2，3，4，6｝ B.｛1，2，3，4，5｝ C.｛1，2，5｝ D.｛1，2｝2．复数z ＝2(1)1i i＋－（i 是虚数单位）则复数z 的虚部等于A ．1B ．iC ．2D ．2i 3．公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = A. 1 B. 2 C. 4 D. 8()()21--1111A. (0+) B. 0,1 C. [0] D 4. (0]2. 2y x y k x k =+∞当曲线与直线有两个公共点时，实数的取值范围是，，，5．学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如下表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为高一级 高二级 高三级 女生 373 y x 男生327z340A ．14B ．15C ．16D ．17 6. 如右图所示的程序框图的输出值y ∈（1，2]，则输入值x 的取值范围为 A ．（－2log 3，－1]∪[1，3） B ．（－1，－3log 2]∪[1，2） C ．[－1，－3log 2）∪（1，2] D ．[－2log 3，－1）∪（1，3]7.右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象，此函数的解析式是A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y8.函数f(x)的定义域为开区间（a,b)，其导函数)(x f '在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内极大值点有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 A. ()334π+ B. ()34π+ C.()238π+D.()638π+10.如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是 A.(01)， B. (1)+∞， C. (1)-∞-， D. (10)-， 11.函数1()ln 1f x x x =--在区间(),1k k +（*k N ∈）上存在零点，则k 的值为(A)0 (B) 2(C) 0或2 (D) 1或212．双曲线2221x a b2y －＝（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，已知｜1PF ｜·｜2PF ｜的最小值为m ．当23c ≤m ≤22c 时，其中c＝22a b ＋，则双曲线的离心率e 的取值范围是A ．（1，2]B ．（32，2） C ．（1，62] D ．[62，2]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．·ODCA13．{}138110________.n n n n a a a n S a S +=+==数列满足：，前项和为，若，则 14．设双曲线2241x y -=的两条渐近线与直线x =（包括边界）为D ，点(,)P x y 为D 内的一个动点，则目标函数12z x y =-的最小值为__________。

15．已知三棱锥O —ABC ，A 、B 、C 三点均在球心为O 的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O —ABC的体积为4，则球O 的表面积是__________。

16①()f x 在 ②()f x 的最大值是2； ③函数)(x f y =有两个零点；R 上恒成立；其中正确的命题有 ▲ .（把正确的命题序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分） 已知函数=)(xf 2cos 2cos x x x m ⋅++2.（Ⅰ）求常数m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边是a ,b ,c ，若()1f A =，sin 3sin B C =，ABC ∆面积为4. 求边长a .18. (本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A 学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B 学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示.（Ⅰ）如果x =7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（Ⅱ）如果x =9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求x 8 29 乙组 第18题图选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，P 为DN 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥MC ； （Ⅱ）线段AB 上是否存在点E ，使得//AP 平面NEC ，若存在，说明在什么位置，并加以证明;若不存在，说明理由.20. （本小题满分12分） 如图，已知半椭圆C 1：222110x y (a ,x )a+=>≥的离心率为22，曲线C 2是以半椭圆C 1的短轴为直径的圆在y 轴右侧的部分，点P(x 0，y 0)是曲线C 2上的任意一点，过点P 且与曲线C 2相切的直线l 与半椭圆C 1交于不同点A ，B ．(I)求a 的值及直线l 的方程(用x 0，y 0表示)； (Ⅱ)△OAB 的面积是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知函数ln ()1a b xf x x +=+在点（1，(1)f ）处的切线方程为2x y +=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）对函数()f x 定义域内的任一个实数x ，()mf x x<恒成立，求实数m 的取值范围。

P M A B C D EEN请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何证明选讲】如图，直线AB 过圆心O ，交⊙O 于,A B ，直线AF 交⊙O 于F ,(不与B 重合)，直线l 与⊙O 相切于C ,交AB 于E ,且与AF 垂直，垂足为G ,连结AC . 求证：（Ⅰ）BAC CAG ∠=∠ (Ⅱ)2AC AE AF =•.23. (本小题满分10分) 选修4—4：极坐标和参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty t x 32 (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为12cos 2=θρ（Ⅰ）求曲线C 的普通方程；(Ⅱ)求直线l 被曲线C 截得的弦长. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数|2|)(|,1|)(-=-=x x g x x f . (Ⅰ）解不等式2)()(<+x g x f ；(Ⅱ）对于实数y x ,，若1)(,1)(≤≤y g x f ，求证5|12|≤+-y x ．文科数学参考答案一、选择题：（每小题 5 分，共60分）()()21-110-111,21y x y k x k ≤==+<曲线是圆心在原点、半径为的上半圆；直线是过【解析】点的一条直线．由图形可以看出，当时，曲线与直线有两个公共点．10.解析：线段CO 的延长线与线段BA 的延长线的交点为D ，则OD tOC =，D 在圆外，1t ∴<-，又D 、A 、B 共线，故存在λμ、，使得OD OA OB λμ=+，且1λμ+=，又OC mOA nOB =+，tmOA tnOB OA OB λμ∴+=+.1m n t∴+=，(10)m n ∴+∈-，.选D.二、填空题：（每小题 4 分，共 16 分） （13）92 （14）223-（15）64π （16）① ③ ④ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：(Ⅰ)m x x x x f ++⋅=2cos 2cos sin 32)(1)62sin(2+++=m x π， ……… 2分∵ ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈3,0πx ， ∴⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈+65,662πππx . ……… 3分 ∵ 函数t y sin =在区间⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,6ππ 上是增函数，在区间⎢⎣⎡⎥⎦⎤65,2ππ 上是减函数， ∴当262ππ=+x 即6π=x 时，函数)(x f 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取到最大值. ……… 5分 此时，23)6()(max =+==m f x f π得1-=m . ……… 6分 （Ⅱ）∵ 1)(=A f , ∴ 2sin(2)16A π+=.∴1sin(2)62A π+=，解得0=A (舍去)或 3A π= . ……… 7分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DAADBDBBDDBD∵C B sin 3sin =，CcB b A a sin sin sin ==, ∴ c b 3=.…………① ……… 8分 ∵ ABC ∆面积为433， ∴ 4333sin 21sin 21===πbc A bc S ,即3=bc . …………② 由①和②解得1,3==c b , ……… 10分∵ 3cos13213cos 222222π⨯⨯⨯-+=⋅-+=A bc c b a ，∴ 7=a 。

……… 12分18. 解：（Ⅰ）当x =7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所以平均数为;9412987=+++=x (3)分 方差为.27])912()99()98()97[(4122222=-+-+-+-=s ……………6分 （Ⅱ）记甲组3名同学为A 1，A 2，A 3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中人选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 3，A 1B 4，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 3，A 2B 4，A 3B 1，A 3B 3，A 3B 4， B 1 B 3，B 1B 4，B 3B 4. …………………9分 用C 表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C 中的结果有5个，它们是：A 1B 4，A 2B 4，A 2B 3，A 2B 1，A 3B 4，故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为.31155)(==C P …………………12分 19．（Ⅰ）证明：连结AC ，因为四边形ABCD 是菱形所以AC BD ⊥.………………2分又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD所以AM ⊥平面ABCD因为BD ⊂平面ABCD 所以AM BD ⊥因为AC AM A = 所以BD ⊥平面MAC .……………………4分 又MC ⊂平面MAC所以BD MC ⊥. ……………………6分（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，有//AP 平面NEC .……7分取NC 的中点S ，连结PS ，SE . ……………8分因为//PS DC //AE ， 1=2PS AE DC =， P SA B CD ENM所以四边形APSE 是平行四边形，所以//AP SE . ……………………10分 又SE ⊂平面NEC ，AP ⊄平面NEC ，所以//AP 平面NEC .……………………12分21.解：(Ⅰ)半椭圆1C，∴2221a a -,∴a ………………………………………………………………2分 设(,)Q x y 为直线l 上任意一点，则OP PQ ⊥，即=0OP PQ ⋅0000(,)(,)=0x y x x y y ⋅--，220000+=+x x y y x y ……………………………4分 又2200+=1x y ， 00+1=0l x x y y ∴-直线的方程为 ………………………6分（Ⅱ）① 当P 点不为（1,0）时，+1=00022+=12x x y y xy ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩， 得22220000(2+)4+22=0x y x x x y --， 即222000(+1)4+2=0x x x x x -设()()1122,,,A x y B x y ，012202012204+=+12=+1x x x x x x x x ∴⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ ……………………………………8分AB…………………………………………9分……………………………………10分11==<222OABS AB OP AB∴………………………………………………11分②当P点为（1,0）时，此时，=2OABS. …………………………………12分综上，由①②可得，OAB∆. …………………………13分21.解：（Ⅰ）由2(1)(ln)ln()()1(1)bx a b xa b x xf x f xx x+-++=⇒'=++而点))1(,1(f在直线2=+yx上1)1(=⇒f，又直线2=+yx的斜率为1(1)1f-⇒'=-故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=1214212baaba……（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得)0(1ln2)(>+-=xxxxf，由xmxf<)(及mxxxxx<+-⇒>1ln20。