山东高考真题圆锥曲线(08年) (22)(本小题满分14分)如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p pp-＜由22x py =得22xy p=，则,x y p'=所以12,.M A M B x x k k pp==因此直线MA 的方程为102(),x y p x x p +=-直线MB 的方程为202().x y p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=-①222202().2x x p x x pp+=-②由①、②得212120,2x x x x x +=+-因此 21202x x x +=，即0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得：2211440,x x p --=2222440,x x p --=所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2AB x x x x x ppk x x pp-+===-所以2.AB k p=由弦长公式得2221212241()411616.AB kx x x x p p=++-=++又410AB =， 所以p =1或p =2，因此所求抛物线方程为22x y =或24.x y =（Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),则CD 的中点坐标为123123(,),22x x x y y y Q ++++设直线AB 的方程为011(),x y y x x p-=-由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上，代入得033.x y x p=若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2330322,x py x x ==因此 x 3=0或x 3=2x 0.即D (0，0)或2002(2,).x D x p（1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意.（2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时221222221212002(2,),,224C D x x x x x x p C x k px px +++==又0,AB x k p=AB ⊥CD ，所以222201212201,44A B C Dx x x x x k k p px p++===- 即222124,x x p +=-矛盾.对于2002(2,),x D x p因为22120(2,),2x x C x p+此时直线CD 平行于y 轴，又00,AB x k p=≠所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意.(09年)（22）（本小题满分14分） 设椭圆E:22221x y ab+=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

解:（1）因为椭圆E: 22221x y ab+=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y k x m=+解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x km x m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m kkk--=++=+++=-+=+++要使O A O ⊥ ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k kk--+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即263m ≥或263m ≤-,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21m r k=+,222228381318mmr m k===-++,263r =,所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足263m ≥或263m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线为263x =±与椭圆22184xy+=的两个交点为2626(,)33±或2626(,)33-±满足OA OB ⊥ ,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥. 因为12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x kkk --+-=+-=--⨯=+++,()2222222121212228(84)||()(1)()(1)(12)k m AB x x y y k x x k k -+=-+-=+-=++42242423245132[1]34413441k k kk k k k ++=⋅=+++++,①当0k ≠时22321||[1]1344AB k k=+++ 因为221448k k++≥所以221101844k k<≤++,所以2232321[1]1213344k k<+≤++, 所以46||233A B <≤当且仅当22k =±时取”=”.② 当0k =时,46||3AB =.③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为2626(,)33±或2626(,)33-±,所以此时46||3AB =,综上, |AB |的取值范围为46||233A B ≤≤即: 4||[6,23]3A B ∈【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. （10年）（21）（本小题满分12分） 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为c a =22，得2a c =，又22a c +=4(21)+，所以可解得22a =，2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184xy+=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 22144xy-=。

【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。

其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， (11年)22. （本小题满分12分） 已知动直线l 与椭圆C ：22132xy+=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且OPQ ∆的面积62O PQ S ∆=，其中O 为坐标原点．（Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得62O D E O D G O EG S S S ∆∆∆===？若存在，判断D E G ∆的形状；若不存在，请说明理由．解析：（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-， 由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而1162O PQ S x y ∆==，则116,12x y ==于是22123x x +=，22122y y +=.当直线l 的斜率存在，设直线l 为y kx m =+，代入22132xy+=可得2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x km m +++-=，0∆>，即2232k m +>2121222636,2323km m x x x x kk-+=-=++22212121211()4PQ kx x kx x x x =+-=++-22222632123k mkk+-=++21m d k=+，222112632622232PO Q k mS d PQ mk∆+-=⋅⋅==+则22322k m +=，满足0∆>222221212122263(2)()2()232323km m x x x x x x kk-+=+-=--⨯=++，222222121212222(3)(3)4()2333y y x x x x +=-+-=-+=，综上可知22123x x +=，22122y y +=.（Ⅱ））当直线l 的斜率不存在时，由（Ⅰ）知1626;2O M x PQ =⋅=⨯=当直线l 的斜率存在时，由（Ⅰ）知12322x x k m+=-，2121231()222y y x x kk m m mm ++=+=-+=，222212122229111()()(3)2242x x y y k om mmm++=+=+=-22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQk k mm+-+=+==++22221125(3)(2)4O M PQ m m=-+≤，当且仅当221132mm-=+，即2m =±时等号成立，综上可知OM PQ ⋅的最大值为52。