第1页共8页专题复习三 一次函数与反比例函数综合题型【教学笔记】一、求一次函数与反比例函数的解析式 1、待定系数法.2、一次函数需要两个坐标点，反比例函数只需要一个坐标点. 二、图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题 1、反比例函数k .2、将大三角形面积看作几个小三角形面积之和3、图形面积与坐标点之间的关系 三、交点问题 根据已知量求未知量四、根据图象直接写出自变量的取值范围 数形结合的思想 【典型例题】考点一：求一次函数与反比例函数的解析式【例1】（2015•资阳）如图10，直线y ＝ax ＋1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线y ＝kx（x＞0）相交于点P ，PC ⊥x 轴于点C ，且PC =2，点A 的坐标为2,0 （）．（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，且QH ⊥x 轴于H ，当以点Q 、C 、H 为顶点的三角形与△AOB 相似时，求点Q 的坐标.【例2】（2016•资阳）如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k ≠0，x ＞0）过点D ．（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC 交y 轴于点E ，连结DE ，求△CDE 的面积．【课后练习】1、如图，一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象过点P （﹣，0），且与反比例函数y=（m ≠0）的图象相交于点A （﹣2，1）和点B ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；第2页共8页 （2）求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？2、如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A (1，0)，B (0，－1)两点，且与反比例函数y ＝mx(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，C 点的横坐标为2.(1)求一次函数的解析式；(2)求C 点坐标及反比例函数的解析式．3、(2016乐山中考)如图，反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (2，2)，B ⎝⎛⎭⎫12，n .(1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx的图象有且只有一个交点，求m 的值．4、如图，一次函数5+=kx y （k 为常数，且0≠k ）的图像与反比例函数xy 8-=的图像交于()b A ,2-，B 两点. （1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB 向下平移)0(>m m 个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求m 的值.5、(2016成都中考)如图，在平面直角坐标系xoy 中，正比例函数y kx =的图象与反比例函数直线my x=的图象都经过点A(2，-2)．(1)分别求这两个函数的表达式；(2)将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴相交ABOyx第3页共8页于点B ，与反比例函数的图象在第四象限内的交点 为C ，连接AB ，AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积。

考点二：图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx 相交于A (－1，a )，B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1.(1)求m ，n 的值； (2)求直线AC 的解析式．解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx 相交于A (－1，a )，B 两点，∴B 点横坐标为1，即C (1，0)，∵△AOC 的面积为1，∴A (－1，2)，将A (－1，2)代入y ＝mx ，y ＝nx可得m ＝－2，n ＝－2；(2)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝2，k ＋b ＝0.解得k ＝－1，b ＝1，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋1.【课后练习】1、(2016宜宾中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x (x >0)的图象交于A (2，－1)，B ⎝⎛⎭⎫12，n 两点，直线y ＝2与y 轴交于点C .(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积． 2、 3、 4、 5、 6、7、(2016泸州中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b (k <0)与反比例函数y ＝mx 的图象相交于A 、B 两点，一次函数的图象与y 轴相交于点C ，已知点A (4，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OB (O 是坐标原点)，若△BOC 的面积为3，求该一次函数的解析式．考点三：交点问题【例1】（2014成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线x y 23=第4页共8页 与双曲线xy 6=相交于点A ，B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点P ，连接BP 、BC,若ΔPBC 的面积是20，则点C 的坐标为 。

【例2】（2015资阳中考）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数8y x =（x ＞0）和ky x=（x ＞0）的图象交于P 、Q 两点，若S △POQ =14，则k 的值为__________．【例2】如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例ky x=（k 为常数，且0k ≠）的图象交于()1,A a ，B 两点.（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，求满足条件的点P 的坐标及PAB ∆的面积.【课后练习】1、(2016巴中10分)已知，如图，一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C .CD ⊥x 轴，垂足为D .若OB ＝2OA＝3OD ＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求两函数图象的另一个交点坐标； (3)直接写出不等式：kx ＋b ≤nx的解集．考点四：根据图象直接写出自变量的取值范围第5页共8页【例1】(2014资阳)如图，一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象过点P （﹣，0），且与反比例函数y=（m ≠0）的图象相交于点A （﹣2，1）和点B ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？【课后练习】1、如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围；(3)若C 是x 轴上一动点，设t ＝CB －CA ，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标．2、如图，直线y 1＝14x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝mx(x >0)的图象交于点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC .(1)求点P 的坐标和反比例函数y 2的解析式； (2)请直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围； (3)反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．【课后作业】1、（2013四川凉山）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比列函数ay x=与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图象是（ ）2、(2015·成都)一次函数12+=x y 的图像不经过 （ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、(2014·成都)在平面直角坐标系中，已知一次函数12+=x y 的图像经过),(111y x P，),(222y x P 两点，若21x x <，则1y _____2y .（填“>”“<”或“=”）第12题O xy O y x AO y x BO yxDO yx C第6页共8页 4、(2016·成都)已知P 1（x 1,y 1），P 2（x 2 ，y 2）两点都在反比例函数2y x=的图象上，且x 1< x 2 < 0，则y 1 _ y 2.（填“>”或“<”）5、(2014·资阳)一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限6、(2014·资阳)函数y=1+中自变量x 的取值范围是 ．7、若点()2,-a a P 在第四象限，则a 的取值范围是（ ）A ．02<<-aB ．20<<aC ．2>aD ．0<a 8、已知一次函数b kx y +=1与反比例函数xky =2在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当21y y <时，x 的取值范围是（ ）A ．1-<x 或30<<xB ．01<<-x 或3>xC ．01<<-xD ．3>x9、在平面直角坐标系中，有如图所示的ABO Rt ∆，x AB ⊥轴于点B ，斜边10=AO ，53sin =∠AOB ，反比例函数()0>=k xky 的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为10、双曲线1y 、2y 在第一象限的图象如图，xy 41=错误！未找到引用源。

，过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1=∆AO B S ，则2y 的解析式是 ．11、如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线()0>=k x ky 经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则=k ．12、(2015·成都)如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例ky x=（k 为常数，且0k ≠）的图象交于()1,A a ，B 两点.（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，求满足条件的点P 的坐标及PAB ∆的面积. 【解析】：OxyAB2yxy 41=C OxyCBEA第7页共8页13、(2014·宜宾)如图，一次函数y=-x+2的图象与反比例函数y=-3x的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于D 点，且C 、D 两点关于y 轴对称.(1)求A 、B 两点的坐标； (2)求△ABC 的面积. .14、2014·甘孜)如图，在△AOB 中，∠ABO ＝90°，OB ＝4，AB ＝8，反比例函数y=kx在第一象限内的图象分别交OA ，AB 于点C 和点D ，且△BOD 的面积S △BOD ＝4.(1)求反比例函数解析式； (2)求点C 的坐标.15、 (2014四川雅安)如图，过y 轴上点A 的一次函数与反比例函数相交于B ．D两点，)3,2(-B ，轴x BC ⊥于C ，四边形OABC 面积为4。