题型四 反比例函数与一次函数综合题针对演练1. 如图，一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)与反比例函数y ＝mx (m ≠0)的图象有公共点A (1，2)，直线l ⊥x 轴于点N (3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B ，C ，连接AC . (1)求k 和m 的值； (2)求点B 的坐标； (3)求△ABC 的面积．第1题图2. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝kx (k ≠0)在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. 如图，反比例函数2yx=的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2yx=，当y＜－1时，写出x的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图4. (2016巴中10分)已知，如图，一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数， k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C .CD ⊥x 轴，垂足为D .若OB ＝2OA ＝3OD ＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求两函数图象的另一个交点坐标； (3)直接写出不等式：kx ＋b ≤nx 的解集．第4题图5. 如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围；(3)若C 是x 轴上一动点，设t ＝CB －CA ，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标．第5题图6. 如图，直线y 1＝14x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝mx (x >0)的图象交于点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC .(1)求点P 的坐标和反比例函数y 2的解析式； (2)请直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围；(3)反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．第6题图7. 如图，直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点C(4，0)，与y 轴交于点B ，并与双曲线y ＝mx (x ＜0)交于点A (－1，n )． (1)求直线与双曲线的解析式； (2)连接OA ，求∠OAB 的正弦值；(3)若点D 在x 轴的正半轴上，是否存在以点D 、C 、B 构成的三角形△OAB 相似？若存在求出D 点的坐标，若不存在，请说明理由．第7题图8. (2016金华8分)如图，直线y＝33x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝kx(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC.①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．第8题图9. 如图，已知双曲线y ＝kx 经过点D (6，1)，点C 是双曲线第三象限上的动点，过点C 作CA ⊥x 轴，过点D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC . (1)求k 的值；(2)若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； (3)判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．第9题图10. 如图，点B 为双曲线y ＝kx (x ＞0)上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y ＝x 于点A ，交x 轴于点D ，双曲线y ＝kx 与直线y ＝x 交于点C ，若OB 2－AB 2＝4. (1)求k 的值；(2)点B 的横坐标为4时，求△ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点P ，使△APC ∽△AOD ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第10题图【答案】1．解：(1)∵点A (1，2)是一次函数y ＝kx ＋1与反比例函数y ＝mx 的公共点，∴k ＋1＝2，1m＝2，∴k ＝1，m ＝2；(2)∵直线l ⊥x 轴于点N (3，0)，且与一次函数的图象交于点B ， ∴点B 的横坐标为3，将x ＝3代入y ＝x ＋1，得y ＝3＋1＝4， ∴点B 的坐标为(3，4)；(3)如解图，过点A 作AD ⊥直线l ，垂足为点D ， 由题意得，点C 的横坐标为3， ∵点C 在反比例函数图象上，∴y ＝2x＝23， ∴C 点坐标为(3，23)，∴BC ＝BN －CN ＝4－23＝103， 又∵AD ＝3－1＝2，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×103×2＝103.第1题解图2．解：(1)设A 点的坐标为(x ，y )，则OP ＝x ，P A ＝y ， ∵△OAP 的面积为1， ∴12xy ＝1， ∴xy ＝2，即k ＝2， ∴反比例函数的解析式为2y x=； (2)存在，如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B ，交x 轴于点M ，此时MA ＋MB 最小，∵点B 的横坐标为2， ∴点B 的纵坐标为y ＝22＝1， 即点B 的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A 点， ∴22x x=， 解得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)． ∴y ＝2，∴点A 的坐标为(1，2)，∴点A 关于x 轴的对称点A ′(1，－2)，设直线A ′B 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A ′(1，－2)，B (2，1)得，23,215k b k k b b +=-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得， ∴直线A ′B 的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53，∴直线y ＝3x －5与x 轴的交点为(53，0)， 即点M 的坐标为(53，0)．第2题解图3．解：(1)∵反比例函数y ＝2x图象上的点A 、B 的横坐标分别为1、－2，∴点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(－2，－1)， ∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴21,211k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1； (2)由图象知，对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x ＜0；(3)存在．对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×12×1×1， ∴n ＝－2，∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2m ，∴m ＝－1，∴点P 的坐标为(－1，－2)． 4．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)． 将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，302,66k b k b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)． 将点C (－2，10)代入y ＝nx ，得10＝2n-，解得n ＝－20，∴反比例函数的解析式为20y x=-；………………………(5分)(2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分) 将x ＝5代入204,y x=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x ＜0或x ≥5. …………………………………… (10分) 【解法提示】不等式kx ＋b ≤n x 的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x 的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.5．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点，∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2y x=-， ∴n ＝1， ∴点A (－2，1)，将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得211,21k b k k b b -+==-⎧⎧⎨⎨+=-=-⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C即为所求，∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ， 1123,253m m n m n n ⎧=-⎪-=-+⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=-⎪⎩解得， ∴y ＝－13x －53， 令y ＝0，得x ＝－5， 则C 点坐标为(－5，0)，∴t 的最大值为A ′B ＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.第5题解图6．解：(1)∵一次函数y 1＝14x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与 y 轴交于点C ， ∴A (－4，0)，C (0，1)， 又∵AC ＝BC ，CO ⊥AB ，∴O 为AB 的中点，即OA ＝OB ＝4，且BP ＝2OC ＝2，∴点P 的坐标为(4，2)，将点P (4，2)代入y 2＝mx ，得m ＝8，∴反比例函数的解析式为y 2＝8x；(2)x >4；【解法提示】由图象可知，当y 1＞y 2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x 的取值范围是x ＞4.(3)存在．假设存在这样的D 点，使四边形BCPD 为菱形，如解图，连接DC 与PB 交于点E ，∵四边形BCPD 为菱形， ∴CE ＝DE ＝4， ∴CD ＝8，∴D 点的坐标为(8，1)，将D (8，1)代入反比例函数8y x，D 点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D ，使四边形BCPD 为菱形，此时 D 点坐标为(8，1)．第6题解图7．解：(1)∵直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点C (4，0)， ∴把点C (4，0)代入y ＝x ＋b ，得b ＝－4，∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，将A(－1，－5)代入y＝mx(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5yx；(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝OMOB＝4OM，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，∴在△AOM中，sin∠OAB＝OMOA＝2226＝21313；第7题解图(3)存在．如解图，过点A 作AN ⊥y 轴于点N ，则AN ＝1，BN ＝1， ∴AB ＝12＋12＝2， ∵OB ＝OC ＝4， ∴BC ＝42＋42＝42， 又∵∠OBC ＝∠OCB ＝45°， ∴∠OBA ＝∠BCD ＝135°，∴△OBA ∽△BCD 或△OBA ∽△DCB ， ∴OB BC ＝BA CD 或OB DC ＝BA BC ，即442＝CD 或4DC ＝242， ∴CD ＝2或CD ＝16， ∵点C (4，0)，∴点D 的坐标是(6，0)或(20，0)．8．解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3.∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F . 设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ). 在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝OB OA ＝33， ∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°， ∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ， ∴点C 的坐标是(3＋32t ，12t )． ∵点C 、E 在y ＝kx 的图象上， ∴(3＋32t )×12t ＝3t ， 解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，∴k ＝3t ＝63； …………………………………………… (5分) ②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下： 由①知，点E 的坐标为(3，23)， 设点D 的坐标是(x ，33x －3)，∴x (33x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是(－3，－23)，∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)第8题解图9．解：(1)∵双曲线y ＝k x 经过点D (6，1)， ∴6k ＝1，解得k ＝6； (2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB ⊥y 轴，∴BD ＝6，∴S △BCD ＝12×6×h ＝12，解得h ＝4，∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1， ∴点C 的纵坐标为1－4＝－3， ∴6x＝－3，解得x ＝－2， ∴点C 的坐标为(－2，－3)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则123,2612k b k k b b ⎧-+=-=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝12x －2；(3)AB ∥CD .理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点D 的坐标为(6，1)，设点C 的坐标为(c ，6c)， ∴点A 、B 的坐标分别为A (c ，0)，B (0，1)，设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则10,11mc n m c n n ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解得， ∴直线AB 的解析式为y ＝－1x c＋1， 设直线CD 的解析式为y ＝ex ＋f ，则16,661e ec f c c c e f f c ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨+⎪⎪+==⎩⎪⎩解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝－1x c ＋6c c+， ∵AB 、CD 的解析式中k 都等于1c-， ∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD .10．解：(1)设D 点坐标为(a ，0)，∵AB ∥y 轴，点A 在直线y ＝x 上，B 为双曲线y ＝k x (x ＞0)上一点，∴A 点坐标为(a ，a )，B 点坐标为(a ，k a )，∴AB ＝a －k a ，BD ＝k a ，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2＝(k a )2＋a 2，∵OB 2－AB 2＝4，∴(k a )2＋a 2－(a －k a )2＝4，∴k ＝2；(2)如解图，过点C作CM⊥AB于点M，,2y xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩联立2222x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩解得或（舍去），∴C点坐标为(2，2)，∵点B的横坐标为4，∴A点坐标为(4，4)，B点坐标为(4，12)，∴AB＝4－12＝72，CM＝4－2，∴S△ABC＝12CM·AB＝12×(4－2)×72＝7－724；第10题解图(3)不存在，理由如下：若△APC ∽△AOD ，∵△AOD 为等腰直角三角形，∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，∴CM ＝12AP ， 设P 点坐标为(a ，2a)，则A 点坐标为(a ，a )， ∴AP ＝|a －2a|， ∵C 点坐标为(2，2)，∴CM ＝|a －2|，∴|a －2|＝12|a －2a|， ∴(a －2)2＝14×222(2)a a-，即(a －2)2＝14×222((a a a +⨯-， ∴4a 2－(a ＋2)2＝0，解得a ＝2或a ＝－23(舍去)， ∴P 点坐标为(2，2)，则此时点C 与点P 重合，所以不能构成三角形，故不存在．。