已知两条直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标 ?
几何元素及关系
代数表示
点A
直线 l
A(a, b)
l : Ax + By + C = 0
点 A在 线 l上 直
Aa + Bb + C = 0
经过直线 l1 : Ax+ By +C1 = 0与直线 l2 : A2x + B2 y +C2 = 0 1 1 的交点的直线系方程为: 的交点的直线系方程为
( A1x + B1 y + C1 ) + λ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0
(λ为待定系数)
此直线系方程 少一条直线l2 一条直线
所以直线的方程为： 所以直线的方程为： x + 3 y − 6 = 0 4
求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 的交点， 例2: 求过两直线 和 的交点 且满足下列条件的直线l的方程 的方程。 且满足下列条件的直线 的方程。 (3)和直线 和直线2x-y+6=0平行 和直线 平行
设经过二直线交点的直线方程为： 解: (3) 设经过二直线交点的直线方程为：
相交; (1)若方程组有且只有一个解, 则l1与l2相交 若方程组有且只有一个解 若方程组有且只有一个解 (2)若方程组无解, 则l1// l2; 若方程组无解 若方程组无解 (3)若方程组有无数解 则l1与l2重合 若方程组有无数解 若方程组有无数解, 重合.
讨论下列二元一次方程组解的情况: 讨论下列二元一次方程组解的情况
(1)l1 x + y − 7 = 0 :2
l2 : x − y + 1 = 0
相交
(2,3)
(2)l1 − 2 y +1 = 0 :x
l2 x − 4y + 2 = 0 :2
重合
(3)l1 + y − 1 = 0 :x
l2 : x + y + 1 = 0
平行
练习
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， :(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l 问当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直 (1)相交， 平行， 相交
设经过二直线交点的直线方程为： 解: (2) 设经过二直线交点的直线方程为：
x − 2 y + 4 + λ ( x + y − 2) = 0
∴ (1 + λ ) x + (λ − 2) y + (4 − 2λ ) = 0
1+ λ 3 1+ λ ∴− × = −1 ∴ λ = 11 ∴k = − λ −2 λ −2 4
x − 2 y + 4 + λ ( x + y − 2) = 0
∴ (1 + λ ) x + (λ − 2) y + (4 − 2λ ) = 0
1+ λ 1+ λ ∴− =2 ∴ λ = 1 ∴k = − λ −2 λ −2
所以直线的方程为： 所以直线的方程为：2 x −
y+2=0
课堂小结
1.两条直线交点与它们方程组的解之间 两条直线交点与它们方程组的解之间 的关系. 的关系 2.求两条相交直线的交点及利用方程组 求两条相交直线的交点及利用方程组 判断两直线的位置关系. 判断两直线的位置关系
x－2y+2=0 得 x= 2 解：解方程组 y=2 2x－y－2=0 ∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 y= x
一、两条直线的交点: 两条直线的交点
A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0
解：解方程组 3x+4y－2 =0 － 2x+y+2 = 0 得 x= －2）
练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: 练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: 2y+2=0， 2x－ l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
A a + B b A11x + B11y + C1 = 0 1 直 l1与 线 l2的 点 A 线 直 交 2 A a + B b A22x + B22y + C 2 = 0
例1：求下列两条直线的交点： 求下列两条直线的交点： l1：3x+4y－2=0； 3x+4y－2=0； l2：2x+y+2=0.
变式： 求过点A(1，－ 且与直线 ＋3y＋5=0平行 ，－4)且与直线 变式： 求过点 ，－ 且与直线2x＋ ＋ 平行 的直线方程. 的直线方程
当λ变化时 方程 , 3x + 4 y − 2 + λ(2x + y + 2) = 0 ? ? 表示什么图形 图形有何特点
二、共点直线系方程: 共点直线系方程
l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0
l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0
A B1 1 ≠ A2 B2 A B1 C1 1 = ≠ A2 B2 C2 A B1 C1 1 = = A2 B2 C2
l1与 2相交 l
l1与 2平行 l l1与 2重合 l
练习:判断下列各组直线的位置关系： 练习 判断下列各组直线的位置关系： 判断下列各组直线的位置关系
∴ (1 + λ )2 + (λ − 2)1 + (4 − 2λ ) = 0
∴ λ = −4
所以直线的方程为： 所以直线的方程为：x + 2 y − 4 = 0
求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 的交点， 例2: 求过两直线 和 的交点 且满足下列条件的直线l的方程 的方程。 且满足下列条件的直线 的方程。 (2)和直线 和直线3x-4y+5=0垂直 和直线 垂直
求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 的交点， 例2: 求过两直线 和 的交点 且满足下列条件的直线l的方程 的方程。 且满足下列条件的直线 的方程。 (1)过点 过点(2,1) 过点
设经过二直线交点的直线方程为： 解: (1) 设经过二直线交点的直线方程为：
x − 2 y + 4 + λ ( x + y − 2) = 0 ∴ (1 + λ ) x + (λ − 2) y + (4 − 2λ ) = 0
x + y + 1 = 0 (1) x − y −1 = 0
x − y +1 = 0 (2) − x + y −1 = 0
x=0 一组解 相交 y = −1
无数组 无解
重合 平行
x − y + 1 = 0 (3) x − y −1 = 0
归纳小结： 归纳小结：如何根据两直线的方程系数之间 的关系来判定两直线的位置关系？ 的关系来判定两直线的位置关系？
讨论下列二元一次方程组解的情况: 讨论下列二元一次方程组解的情况
x + y + 1 = 0 (1) x − y −1 = 0
x − y +1 = 0 (2) − x + y −1 = 0
一组解
x=0 y = −1
无数组 无解
x − y + 1 = 0 (3) x − y −1 = 0