第二章：控制系统的数学模型§ 引言·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。

·建模方法⎩⎨⎧实验法（辩识法）机理分析法·本章所讲的模型形式⎩⎨⎧复域：传递函数时域：微分方程§控制系统时域数学模型1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络11cc c r Ru u u u LLC LC'''∴++= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A 、B 点受力情况 由 A 1A i 1x k )x x (k =- 解出012i A x k k x x -= 代入B 等式：020012i x k )x x k k x f(=--&&& 得：()i 1021021x fk x k k x k k f &&=++ ── 一阶线性定常微分方程（3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：b a E i R u +⋅=┈克希霍夫 电枢及电势：m e b C E ω⋅=┈楞次 电磁力矩：i C M m m ⋅=┈安培力矩方程：m m m m m M f J =+⋅ωω& ┈牛顿变量关系：m mb a M E i u ω----消去中间变量有：（4）X-Y 记录仪（不加内电路）消去中间变量得：a m 321m 4321m u k k k k k k k k k T =++l l l &&&─二阶线性定常微分方程即：a mm 321m m 4321m u T k k k k l T k k k k k l T 1l =++&&&2、 线性系统特性──满足齐次性、可加性 ● 线性系统便于分析研究。

● 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。

● 非线性元部件微分方程的线性化。

例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0α处的线性化增量方程解：在0αα=处线性化展开，只取线性项： 令 ()()0y -y y αα=∆ 得 αα∆⋅-=∆00sin E y 3、 用拉氏变换解微分方程 a u l l l 222=++&&& （初条件为0）复习拉普拉斯变换的有关内容1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 ωσj s += 复函数 ()y x jF F s F += 例：()ωσj 22s s F ++=+= （2）复数模、相角 （3）复数的共轭（4）解析：若F(s)在s 点的各阶导数都存在，称F(s)在s 点解析。

2 拉氏变换定义3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃：()⎩⎨⎧≥<=0 t 10t 0t 1 2. 指数函数：⎩⎨⎧≥<=0t e 0 t 0)t (f at3. 正弦函数：⎩⎨⎧≥<=0t t sin 0 t0)t (f ω4 拉氏变换的几个重要定理（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L -⋅='()()()()()()()()()n n-2n 1n n-1n-2 L f t s F s s f 0s f 0sf 0f 0-⎡⎤'=-----⎣⎦L 进一步： 零初始条件下有：()()[]()s F s t f L n n ⋅= ● 例1：求()[]t L δ ● 例2：求[]t cos L ω 解：[]2222s ss s 1t n si L 1t cos ωωωωωωω+=+⋅⋅='=Θ（3）积分定理：()[]()()()0f s1s F s1dt t f L 1-+⋅=⎰ （证略） 零初始条件下有：()[]()s F s1dt t f L ⋅=⎰ 进一步有： ● 例3：求L[t]=? 解：()dt t 1t ⎰=Θ● 例4：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡2t L 2解：⎰=tdt 2t 2Θ（4）位移定理实位移定理：()[]()s F e -t f L s ⋅=-ττ● 例5：()()s F0 t 01 t 0 10 t 0t f 求⎪⎩⎪⎨⎧><<<= 解：)1t (1)t (1)t (f --=虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =⋅ （证略） ● 例6：求[]at e L ● 例7：[]()223s s 223t -53s 3s 5s s cos5t e L +++=+=⋅+→● 例8：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---)15t (5cos e L )35t (cos e L 2t2t ππ （5）终值定理（极限确实存在时） 证明：由微分定理()()()0f s sF dt e t f st 0-='-∞⎰取极限：()()()0f s sF lim dt e t f lim 0s st 00s -='→-∞→⎰∴有：()() s sF lim f 0s →=∞证毕● 例9：()()()b s a s s 1s F ++=求()f ∞● 例10：()0s s lim t sin f 220s t =+≠=∞→∞→ωωω 拉氏变换附加作业 一． 已知f(t),求F(s)=? 二．已知F(s),求f(t)=? 5.拉氏反变换 (1) 反变换公式：⎰∞+∞-=j j stds e ).s (F j21)t (f σσπ (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 微分方程一般形式：)s (F 的一般表达式为：[]r b r b r b r b C C a C a C m 1-m )1-m (1)m (01-n )1-n (1)n (+'+++=+'+++ΛΛ来自：（I ）其中分母多项式可以分解因式为：)p s ()p s )(p s ()s (A n 21---=Λ (II))s (A p i 为的根(特征根)，分两种情形讨论：I ：0)s (A =无重根时：(依代数定理可以把)s (F 表示为：) 即：若i c 可以定出来，则可得解：而i c 计算公式： )s (F ).p s (lim c i p s i i-=→(Ⅲ)ip s 'i )s (A )s (B c ==(Ⅲ′)(说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) ) ● 例2：34s s 2s )s (F 2+++=求?)t (f =解：3s c1s c 3)1)(s (s 2s )s (F 21+++=+++=● 例3：34s s 55s s )s (F 22++++= ，求?)t (f =解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法) ● 例4：j 1s c j -1s c j)1j)(s -1(s 3s 22s s 3s )s (F 212++++=++++=+++=解法一：[]jt-jt t e )j 2(e )j 2(e 2j1--+=- （t cos j 2e e ,t sin j 2e e jt jt jt jt =+=---Θ） 解法二：II ：0)s (A =有重根时：设1p 为m 阶重根，n 1m s ,s Λ+为单根 .则)s (F 可表示为： 其中单根n 1m c ,c Λ+的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算. 重根项系数的计算公式：(说明原理) ●例5 3)(s 1)s(s 2s )s (F 2+++=求?)t (f =解：3s c s c 1s c 1)(s c )s (F 43122++++++=3.用拉氏变换方法解微分方程 ● 例 ：u l l r l 222...=++ 解：s2L(s)22s s L 2=++］：［举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程，引出传函概念。

如右图ＲＣ电路：初条件：c0c u )0(u = 输入 []t 1.E )t (u 0r = 依克西霍夫定律：L 变换：依（＊）式可见，影响ＣＲ电路响应的因素有三个：r c01:u (t)2:u ⎫⎬⎭输入初条件分析系统时，为在统一条件下衡量其性能输入都用阶跃，初条件影响不考虑 3:系统的结构参数 ――只有此项决定系统性能c r U (s)1CRs 1U (s)=+零初条件下输入/出拉氏变换之比（不随输入形式而变） §2-3 线性定常系统的传递函数——上述ＣＲ电路的结论适用于一般情况 一般情况下：线性系统的微分方程：r(t)b (t)r b (t)r b (t)r b C(t)a (t)C a )t (C a )t (C m 1-m )1-m (1)m (0n 1-n )1-n (1)n (+'+++=+'+++ΛΛ简单讲一下： 传递函数的标准形式： I:D(s)为首1多项式型：根轨迹增益:K S K T1S T K G (s)**α+=+= II:D(s)为尾1多项式型： 开环增益:K 1TS KG(s)+= 开环增益的意义： 一般情况下：首1型：[][]*1n *1n *m1m *1m *-n 1m 1*n as a s s b s b s K )p s ()p s (s )z s ()z s (K G(s)ll l l l l -++++++=----=----ΛΛΛΛ (1)尾1型：[][]1s a s a s 1s b s b )1s T ()1s T (s )1s ()1s (K G(s)1n 1n 01m 1m 01m 1n ++++++=++++=-----ΛΛΛΛl l l l lττ (2)由(1)式：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∏∏==为极点为零点i -n 1i i *-n im 1i i *m p )p (a z )z (b ll (3) 比较(1)(2):)p ()z (K a b K K a b K -n 1i im1i i**-n *m *-n *m *∏∏==--===⋅lll (4)首1型多用于根轨迹法中. 尾1型多用于时域法，频域法中. 一 .传递函数定义：条件：⎪⎩⎪⎨⎧==='===='=--0)0(c)0(c )0(c 0)0(r)0(r )0(r )1m ()1n (ΛΛ 定义：有关概念：特征式，特征方程，特征根 零点i z ——使0G(s)=的s 值 极点j p ——使∞=G(s)的s 值n m a b K =：传递函数，增益，放大倍数→[])s (G s1.s lim)c(K a b 0s t 1r(t)n m →==∞== 结构图——系统的表示方法 G(s)分子分母与相应的微分方程之间的联系：⎭⎬⎫前面的系数式分子：前面的系数式分母：)s (R (*))s (C (*)完全取决于系统本身的结构参数注(1)为何要规定零初始条件？分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统：输入：都用阶跃输入.初条件：都规定为零——为确定一个系统的起跑线而定.则系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数)(2) 为何初条件可以为零？1)我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的.2)绝大多数系统，当输入为0时，都处于相对静止状态.3)零初始条件是相对的，常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化时)(3) 零初条件的规定，并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解.可以由G(s)回到系统微分方程，加上初条件求解.二 .传递函数的性质：b,a均为实常1.G(s) : 复函数，是自变量为s的有理真分式(m≤n)ii 数.m<n的解释：1). 实际系统都存在惯性，从微分方程上反映出来，即C(s)的阶次比R(s)阶次高.反映到G(s)上即有分母阶次n≥分子阶次m.2).反证法：设m>n则：说明：2.G(s): 只与系统本身的结构参数有关与输入的具体形式无关.输入变时，C(s)=G(s)R(s)变，但G(s)本身并不变化但G(s)与输入、输出信号的选择有关.r(t),c(t)选择不同，G(s)不同.(见前CR电路.)3. G(s)与系统的微分方程有直接联系4. [])t (k L G(s)(t)r(t)δ==→G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换 5. G(s)与系统相应的零极点分布图对应G(s)的零极点均是复数，可在复平面上表示： 若不计传递函数，G(s)与其零极点分布图等价. 例：*2(2)G(s)(3)(22)s s s s K +=+++G(s)⇔系统零极点分布图 ⇔系统性能⎩⎨⎧.动态特性稳定性；若当系统参数发生变化时，分析其特性：1) 用解微分方程法十分繁琐——一个元部件参数改变，影响i i b ,a ，得反复解2) 若掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性，则当某个元部件的参数改变时，i i b ,a 变化，零极点位置变化，系统性能的变化规律就能掌握了，这样，我们可以有目的地改变某些参数，改善系统的性能，且免除了解微分方程的烦恼。