非定常约束：约束方程中显含时间
y
x
v
y
vt
x
x y cot vt
固执约束：双面约束
非固执约束：单面约束
A
x
l
刚性杆
y
B
x2 y2 l2
A
x
l
绳子
y
B
x2 y2 l2
2、虚位移
（1）定义 在给定瞬时，质点或质点系在约束所允许的情况下， 可能发生的任何无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。
纯滚动约束 δWN FR δrA FR 0 0
不可伸长柔索或轻质杆约束
A
δWN FNA δrA FNB δrB
FNA δrA FNA δrB 0
§14－2 虚位移原理
虚位移原理也称为虚功原理，指的是：
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用 于质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零。
满足此式，不论刚体、变形体还是质点系必定平衡。它 是质点系平衡的最普遍方程。所以，也称为静力学普遍方程。
应用虚位移原理的优越性：
1．应用范围广。既适用不变质点系，也适用可变质点系（包 括变形体）。在静力学里，建立的平衡条件，对于刚体的平 衡是必要和充分的，但对于变形体来说，就不一定总是充分 的。但变形体只要满足虚位移原理就一定平衡。它适用于任 意质点系。
即 δW 0
或
Fi δri 0
或
Fxiδxi Fyiδyi Fziδzi 0
原理推导
Fi FNi 0
Fi
Mi
FNi δri
FFi i δδririFFNiNi δrδi ri 0 0
对于理FFFFFi想ii iiF约δδδ iδδr束rriiirrF，δiiir有iF0Fd0NiirFidFNδirNrFiiFiδNNriδii0rδidr0iFri0Ni00d ri 0
δ r cos δ l cos
yB 0
δyB 0
请你思考：
图示系统中，AE杆的虚位移 d 如图，试画出图示位置H、
E、J、 B、F、 C、G各点相应的虚位移。
I
FF11 HH
EE
JJ FF22 FF
G rG
rH
rE
rJ rF
A
aa
B B rB
aa
aa
C C rC
D
aa
aa
aa
a
3、虚功 力在虚位移中所作的功称为虚功
解: 弹簧属于非理想约束，解
2．解决力学问题方便简捷。它特别适用于非自由质点系。而 非自由质点系是工程中常见的。对于非自由质点系受到的约 束越多，所列的方程越少，对于理想约束，则约束反力不在 方程中出现，这使解题十分方便。
3．与达朗伯原理结合起来可解决非自由质点系的动力学问题， 从而得到动力学普遍方程。
§14－1 约束•虚位移•虚功
（2）虚位移与实位移的区别 实位移是在一定的时间内真实发生的，它除满足约束方程外，
还满足动力学方程及初始条件。可以是有限量，也可以是微量。 虚位移只满足给定瞬时的约束，它是假想的，并且是微量。
在定常约束情况下，微小实位移是虚位移中的一个，否则则 不是。
（3）质点系中各点虚位移之间关系
几何法：
质点系中各点虚位移之间的 关系与系统运动时各点速度之间 关系相同。
1、约束及其分类 限制非自由质系运动的各种条件称为约束
表示约束限制条件的数学方程称为约束方程
点M的约束方程为：
f (x, y, z) 0
A、B两点的约束方程为：
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 0
约束分类
（1）几何约束：只限制位置 √
运动约束：还限制速度
（2）定常约束：约束方程中不显含时间 √
第十四章 虚位移原理
§14－1 约束•虚位移•虚功 §14－2 虚位移原理
虚位移原理研究的是静力平衡问题，而不是动力学问题。 虚位移原理：质点系在理想约束情况下，处于平衡的必要 与充分条件是质点系受到的所有主动力在质点系虚位移中的 元功之和为零。
Fi δri 0
虚功方程
Fi为质点Mi所受的所有力的合力，δri为该质点的虚位移。
注意 （1）虚位移是微量，故虚功也是微量
（2）虚位移是假想的，故虚功也是假想的
虚功用 δW 表示
例如图示机构中力F 的虚功为:
δW F δrB FδrB
力偶M 的虚功为:
δW Mδ
4、理想约束 约束力在质系虚位移上元功之和为零的约束称为理想约束。
δWN FNi δri 0
光滑面约束 δWN FN δr 0
例 求图所示椭圆规机构中, 滑块A， B虚位移之间的关系。
由 δrA, δrB 在 A ,B 连线上投影相等
δrB cos δrA sin 得： δrB δrA tan
例 求AB杆上各点虚位移之间的关系。
AA
δδ δrM
O
δrB
δrA
M
BB

δrA OAδ δrB OBδ δrM OMδ
解析法 建立质点系中各质点的坐标,取其变分的方法。
例 用解析法求图示椭圆规机构中, 滑块A，B的虚位移。 解：
yA l sin
δyA l cosδ
xB l cos
δxB l sinδ
例 求A、B两点虚位移之间的关系
解：（1）几何法：
δrB cos δrA cos δrA sin
sin
δrB cos δrA
（2）解析法：
xA r cos
得： Fi δri Fi 0δri 0
——虚功方程
即：对于理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于 质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零。
例 图示平面机构中各杆与弹簧原长均为l ，重量均可略去不 计，弹簧刚度为k，铅直导槽是光滑的。求平衡时， P 的大
小与角度 之间的关系。
yA r sin
xB r cos l cos
yB 0
虚位移表达式
xA r cos δxA r sinδ yA r sin δyA r cosδ
xB r cos l cos
δxB r sinδ l sin δ
r sin δ
cos
l sin r sin
l cos δ r cosδ
非定常约束：约束方程中显含时间
（3）固执约束：双面约束 √
非固执约束：单面约束 （4）完整约束：几何约束以及可积分的运动约束
非完整约束：不可积分的运动约束
几何约束：只限制位置
f x, y, z 0
运动约束：还限制速度 f x, y, z, x, y, z, 0
定常约束：约束方程中不显含时间