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课题学习：《折纸与特殊直角三角形》教学设计
内容与学情分析：
本讲内容《折纸与直角三角形》是学生学习了八年级上册《第二章特殊三角形》后的一个综合应用，学生已学过直角三角形的性质（特别是勾股定理及逆定理），能运用这两个定理进行有关的计算和证明。

八年级是学生由形象思维向逻辑思维转化的时期，因此在几何学生上，也由实验几何向演绎推理几何转化。

这种转化是学生在经历观察、实验、猜想及证明等活动中完成的，折纸与直角三角形就很适合八年级的知识储备及认识水平，有助于学生从形象思维向逻辑思维转化. 教学目标：
1． 运用实验操作、全等、勾股定理的运用在正方形纸片中折出等腰直角三角形、含30°的直角
三角形、三边长之比分别为3:4:5和5:12:13的直角三角形。

2． 体验折纸的乐趣，也更加体会到数学来自于身边。

3． 激发学生的想象力、发散思维，促进学生的合作与交流。

教学重点：
运用勾股定理和方程来计算相关的线段的长度. 教学难点：
如何折出含有30°的直角三角形. 教学准备：
正方形纸片（学生课堂中现场制作） 教学手段：
动手操作、计算、演绎推理 教学过程：
一、回顾特殊直角三角形，提出本节课的教学目标
特殊直角三角形⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧的直角三角形三边的比为的直角三角形三边的比为
角的直角三角形
含等腰直角三角形13:12:55:4:3300
后两个不是很常见，但是这两组勾股数却常用到。

本节课我们利用正方形纸片折出上面的四个直角三角形。

（教学生剪出正方形纸片） 二、学生动手操作、尝试探索
首先介绍折纸的一些要求:(1)只能对折而不能三等分;(2)能把一点折到一条线上.
1．折出等腰直角三角形
问:你们能折出等腰直角三角形吗?
这个是很好解决的，学生折出来以后，老师再次说明折叠的方法。

要求学生说明一下为什么是等腰直角三角形的理由。

（如图1如下：）
归纳:折出45°的角. 同步练习：你们能折出一个22.5°的角吗?还能得到什么度数的角?这系列的角能用一个代数式表示吗?
图1
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归纳：利用这种方法可以得到一些特殊值的角，即m 2
1800
×n （m,n 都为正整数）的角.
2．折出含30°的直角三角形 问题：
(1)哪些图形中含有30°的角或60°或15°的角? (2）怎么解决这个问题? 折叠方法如图2所示：
最后一个图中的∠ABE=30°，请同学们说一下理由。

学生讨论，总结发言。

可能的说明方法有如下两种：
第一种：在Rt △A ’BG 中，∠A ’GB=90°，BG=
21AB=2
1
A ’
B ，所以∠BA ’G=30°. ∠A ’BA=60°，∠A ’BE=∠ABE=
2
1
∠A ’BA =30°. 第二种：连接A ’A,由轴对称可知A ’A=A ’B ，又A ’B=AB ，所以△A ’BA 是等边三角形，所以∠A ’BA=60°,∠A ’BE=∠ABE=30°.
归纳：折叠线有特殊用处，特殊点有特殊的数学问题存在.
综合练习:(1)你们能折出18.75°的角吗? 3.75°的角呢?
(2)你有什么启发?
3．折叠出3:4:5的直角三角形。

学生可能很快的用以下的方法折出(如下图所示):
Rt △BCE 的三边之比就是3:4:5.
现在我们一起再来看一下另外一种折法,它没有刚才这样的明显(如下)
分析思考过程:
(1) 首先,直角是现成的,正方形的四个角都是. (2) 假设如图3所示，Rt △A ’DE 的三边DE:DA ’:A ’E=3:4:5，
图2
B'
A'F E D C
B A
图
3
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那么DA ’:（DE+EA ’)=4:8=1:2，而DE+EA ’=DA=DC ，所以DA ’:DC=1:2. 即A ’是DC 的中点.
(3) 学生讨论折叠的方法.（如图4所示）
验证：设正方形的边长为8.
在Rt △A ’DE 中，DA ’=4，设DE=x ，那么A ’E=AE=8-x.由勾股定理得：A ’E 2=A ’D 2+DE 2，得 （8-x ）2=42+x 2，解得x=3，8-x=5 ，即DE=3，DA ’=4，A ’E=5.DE:DA ’:A ’E=3:4:5 .
想一想：(1)若设正方形边长为a ，那么DE=______，DA ’=________，A ’E=_______，DE:DA ’:A ’E=______. (2)E 可能会是AD 的中点吗?
(这第(1)个问题很重要的,是从特殊到一般的过程,一定要学生经历这一过程)
变式练习:(1)你们能折出三边长之比是5:12:13三角形吗?有哪些方法?
参照折叠出3:4:5的方法折叠出5:12:13直角三角形.
思考过程:
（1） 首先,直角是现成的,正方形的四个角都是.
（2） 假设如图7所示，Rt △A ’DE 的三角形的三边DE:DA ’:A ’E=5:12:13， 那么DA ’:（DE+EA ’)=12:18=2:3，而DE+EA ’=DA=DC ， 所以DA ’:DC=2:3.即A ’是DC 的一个三等分点.
（3） 三等分如何得到？（参考后面计算结：H 是BC 的一个三等分点， 利用H 点来折叠）
（4） 讨论折叠方法（如图8所示）
（5） 验证Rt △PCH 的三边的比是5:12:13. 归纳：同第3题
问题：如图4中的最后一个图形，AB 折叠后的像A ’B ’交BC 于H ，折痕为EF ，设正方形的边长为8.
（2） 求出折痕EF 的长； （3） 求出BF 的长；
（4） 连接A ’A ，找出图中与∠DA ’A 相等角; （5） 求证:A ’H=A ’D+HB ；
（6） 求出CH 的长； （7） 求出△A ’CH 的周长. 解答过程如下（简略）（如图5）
（1） 连接A ’A ，过F 作FG ⊥AD 于G ，由图对称性可知，对称轴直线EF 垂直平分A ’A ，∴∠DAA ’=∠EFG ，∠D=∠EGF ，GF=AB=DA ，∴△A A ’D ≌△FEG, ∴EF=A A ’=
22'D A AD =45.
（2） 由(1)两个三角形全等可知EG= A ’D=4,BF=AG=8-3-4=1.
（3） ∠DA ’A=∠A ’AB=∠HA ’A=∠GEF
图4
图5
B'
图6
H
C
B
B'
A'F E
D C
B A
图
7
H(D')
C
B
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（4） 如图6,作AM ⊥A ’H 于M,则Rt △A A ’D ≌△A A’M ，于是AM=AD=AB ，
连接AH ，又得到△A A ’D ≌△FEG ，得到HM=HB ，所以A ’H=A ’D+HB.
（5） 设CH=y ，则MH=HB=8-y,A ’H=A ’D+HB=12-y ，A ’C=4，
在 Rt △A ’CH 中，A ’H 2=AC 2+CH 2，（12-y ）2=42+y 2，解得y=
3
16
. （6） C △A ’CH =16.
归纳：抓住全等，列出方程求解.
本课小节：折叠问题是一个很有趣的问题，从小学一直到初中都有许多和我们数学相关的问题，只要同学们用心观察，用心思考，一定会有更多的发现。

作业：如图9，正方形ABCD 的边长为1，A ’是边CD 上的任意一点，
把正方形沿EF 折叠，使A 点的对应点落在边CD 上的A ’点，B 的对应
点为B ´，A ’B ’交BC 于H 。

求证：△A ’HC 的周长是一个定值.
图9
B'。