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9.1.2统计自相似 对象被细分后的部分相互之间或与整体相似或相
同的特性称之为自相似。von Koch曲线是严格自相似 的。但海岸线不同，细分放大后，海岸线的每一小部 分看起来像，但不完全像一个大些部分，所以，海岸 线不是严格自相似，而是统计自相似。然而，分形维 数的概念也可用于这样的统计自相似对象。统计自相 似是自然界中分形的主要特征，象山、云、火、浪等 都具有统计自相似的特性。
9.1.3分形的维数 分数维图形的细节变化可以用数字D来描述，D称为
分形维数，它是图形粗细性的度量，同图形每一步细 分数目和缩放倍数有关。
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计算机图形学演示稿 纪玉，S为细分时缩放因
子，分形维数D定义为：
D
log log(
N 1)
分形维数S 不像我们所熟悉的欧氏几何的维数是一
整数，它可以是分数，这也是其名称的由来。如图.2
是两个示例。
图.2
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通常一维的对象（例如线段）可被分成N个相同部分。
每一部分从整体上缩小S=1/N的比例。类似地，诸如平
面上方形区域的二维对象可被分成N个自相似部分，每
－部分缩小S=1/N1/2的比例。像固体立方体这样的三维
第九章 分数维图形
自然景物模拟是计算机图形学的一个重要研究内容。 与规则几何体不同，自然景物的表面往往包含有丰富的细 节或具有随机变化的形状，它们很难用传统的解析曲面来 描述。尽管凹凸纹理映射技术可以模拟规则景物表面的几 何纹理细节，但在表达诸如山脉、云彩、火焰、树木、浪 花等自然景象时，凹凸纹理映射技术仍难以胜任。从欧氏 几何来看，这些自然景物是极端无规则的，为了解决这一 问题，分数维图形生成技术应运而生。分数维图形是利用 分数维几何学的自相似性质，采用各种模拟真实图形的模 型，使整个生成的景象呈现出细节的无穷回归性质。所生 成的景物中，可以有结构性较强的树，也可以是结构性较 弱的火、云、烟，甚至可生成有动态特性的火焰、浪等。
对象可被分成N个小立方体，每个立方体缩小S=1/N1/3的
比例。按这样的S与N的关系细分得到的是欧氏几何的结
果，维数是整数。如图2(b)所示，若我们按欧氏几何的
方法，将一线段四等分，则N=4，S=1/4，则D=1。得到
的是同欧氏几何相一致的整数维。将一正方形16等分，
此时N=16，线段的放大倍数S=1/4，则D=2。
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图3
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一般地说，二维空间中的一个分数维曲线维数介于1 和2之间，三维空间中的一个分数维曲线维数在1和3之 间，而三维空间中的一个分数维曲面维数在2和3之间。
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9.1分数维几何方法 9.1.1分数维几何概念
对复杂现象的探索早在图形学产生以前就已经开 始，可以回溯到1904年，当时von Koch研究了一种他称 为雪花的图形，他将一个等边三角形的三边都三等分， 在中间的那一段上再凸起一个小正三角形,如图1所示， 这样一直下去，理论上可证明这种不断构造成的雪花周 长是无穷，但其面积却是有穷的。这和正统的数学直观 是不符的，周长和面积都无法刻划出这种雪花的特点， 欧氏几何对这种雪花的描述无能为力。
图1
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二十世纪六十年代开始，B.B.Mandelbrot重新研究 了这个问题，并将雪花与自然界的海岸线、山、树等 自然景象联系起来，找出了其中的共性，并提出了分 数维(Fractal)的概念。
Mandelbrot曾举了一个海洋线的例子来说明这一理 论。假设我们要测量不列颠的海岸线长度，我们可以 用一个1000米的尺子，一尺一尺地向前量，同时数出 有多少个1000米。这样得到一个长度为L(1000米）。 然而这样测量会漏掉许多小于1000米的小湾，因而结 果不准确。如果尺子缩到l米，那么我们会得到一个新 的结果L(l米)，显然L(1米)＞L(1000米）。一般来说, 如果用长度为r的尺子来量，将会得到一个与r有关的 数值L(r)。与Koch的雪花一样r→0，L(r)→∞。也就 是说，不列颠的海岸线长度是不确定的，它与测量用 的尺子长度有关。
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Mandelbrot注意到von Koch雪花与海岸线的共同特 点：它们都有细节的无穷回归，测量尺度的减小都会 得到更多的细节。换句话说，就是将其一部分放大会 得到与原来部分基本一样的形态，这就是Mandelbrot 发 现 的 轰 动 整 个 自 然 界 的 复 杂 现 象 的 自 相 似 性 (Self Similarity）。为了定量地刻划这种自相似性，他引入 了分数维概念，这是与欧氏几何中整数维相对应的,所 以也称为分数维几何。分数维的引入，为研究复杂性 提供了全新的角度，使人们从无序中重新发现了有序， 许多学科象物理、经济、气象等都将分数维几何学作 为解决难题的新工具。计算机图形学也从中受到启发， 并形成了以模拟自然界复杂景象、物体为目标的分数 维图形学，由此方法生成的图形称为分数维图形或分 形。
利用自相似，对分形大小的推广是直观的。一个D
维自相似对象可被分成N个更小的部分。每一部分缩小S
因子。其中 S 1 DN
或者
1 N SD
当D不取整数时，细分的结果是一个分数维图形。
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仍以von Koch曲线为例，D非整维数(大于1而小于 2)反映了曲线的特征。它从某种程度上更多填充了空间 而 非 简 单 直 线 (D=1), 但 是 又 小 于 一 个 欧 氏 平 面 区 域 (D=2)。当D从1增加到2时，结果曲线从“线形”逐渐填 充大部分平面，实际上，极限D=2产生一个称为Peano曲 线或空间填充曲线，如图3所示。这样，分形维数就提 供了一个曲线摆动的度量。尽管这些von Koch曲线具有 1到2的分形维数，但它们均是保持具有拓朴维数1的 “曲线”，即去掉一个点即可将曲线分为两部分。